吉林省九校2026届高三上学期11月联合模拟考试 数学试卷（含答案)

这是一份吉林省九校2026届高三上学期11月联合模拟考试 数学试卷（含答案)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．对于实数，“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
3．已知，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．函数，则对任意实数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递减
5．设函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设函数，若曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．－1B．C．1D．2
8．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，其中，若将其图象向左平移个单位，此时图象正好关于坐标原点对称，则以下结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上的最小值为
C．函数的一个对称中心为
D．若时，方程有两个不同的解，则
11．已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数B．关于点对称
C．D．
三、填空题
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
13．已知正数，满足，则的最小值为 ．
14．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则 ．
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的最小正周期及值域；
（2）求的单调递增区间.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
17．如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.
（1）证明：.
（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.
18．若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
（1）求，，；
（2）设，，求数列的前项和；
（3）设，，数列的前项和为，证明：，
19．已知函数.
（1）求在处的瞬时变化率；
（2）若恒成立，求的值；
（3）求证：.
参考答案
1．C
解析：，
则.
故选：C.
2．C
解析：由.
由.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．D
解析：，
故.
故选: D.
4．B
解析：的定义域为，而，则，
故是奇函数，
由于，函数单调递增，故在上单调递增，
故选：B
5．C
解析：令，，
则可视为由和构成的复合函数，
由对数函数性质得在区间上单调递增，
因为在区间上单调递减，
所以由复合函数性质得在区间上单调递减，
由二次函数性质得的对称轴为直线，
显然开口向上，故，解得，
则的最大值为4，故C正确.
故选：C
6．C
解析：当时，，即，则.
当时，由，得，
得，则，易知，即.
又，所以是首项为1，公比为的等比数列.
又单调递增，所以，解得.
故选：C
7．C
解析：令，即，可得，
令，
由于均为偶函数，且两曲线只有一个交点，所以该交点只能在轴上，
可得，即，解得．
若，令，可得，
设，则，
又设，则，
即函数单调递增，
又，所以时，；时，，
所以，当且仅当时，取得最小值为，
即方程有一个解，所以符合题意．
故选：C.
8．C
解析：如图，
设点D在母线SA上且，
因为是直角三角形，所以三棱锥外接球的球心E在SO上，
由 ≌，可得，
即三棱锥外接球的球心E也是三棱锥外接球的球心，且两个外接球的表面积相等．
由，得的外心即为三棱锥外接球的球心E．
在中，，
所以的外接圆的直径，
所以三棱锥外接球的表面积是，
故选：C．
9．ABD
解析：由已知等比数列的公比为，且，，
则，解得，
所以，，
故选：ABD.
10．BC
解析：由于，
将其图象向左平移个单位，得到函数解析式，
则，即，
所以，又，解得．
所以，最小正周期为，故A错误：
当时，，所以，
可得，所以的最小值为，故B正确；
，
当时，，
所以是函数的一个对称中心，故C正确；
当时，，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，则函数图像如下，

又方程有两个不同的解，所以，故D错误．
故选：BC．
11．AD
解析：对于A，由为奇函数，则，即，
即得为常数，令，即得，则，
故，即，则，
结合，可得，故，
故，即是奇函数，A正确；
对于B：由为奇函数，则，则
即的图象关于点对称，
结合是R上的奇函数，故，如果关于点对称，则，
而，矛盾，故B错误；
对于C，由为奇函数，则，
故为常数，令，则，
则，C错误；
对于D:由于，故，即，
故4是的一个周期．
是R上的奇函数，故，，结合得，
，，
故，故D正确．
故选：AD．
12．4
解析：由题得，解得，
所以当时，，
所以.
故答案为：4.
13．
解析：由，得，
所以，
因为，，所以，
所以，即，
所以，当且仅当，且，即时，上式取“=”，
所以的最小值为．
故选：D.
14．3
解析：在中，由正弦定理及，
得，
则，
移项得，
于是，整理得，解得，
由，得，则，，
所以.
故答案为：3
15．（1），
故的最小正周期，的值域为.
（2）根据（1）中所求，，
令，解得.
故的单调增区间为：.
16．（1）根据题意，
则由正弦定理得，
即，
即，
化简得，
因为，所以，
∴，由于，
则；
（2）根据题意，的面积为即，
则，
又根据余弦定理，，则，
所以，即，
又由的面积，
所以.
17．（1）
设为的中点，连接，，，，
因为，所以，
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，
又平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
，所以平面，
因为平面，所以，所以四边形为菱形，即.
（2）
因为平面平面，且平面平面，，平面，
所以平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设.
则，，，，，
可得，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
，故二面角的正弦值为.
18．（1）1到6中与6互质的只有1和5，所以；
1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以；
1到中，所有奇数都与互质，所以．
（2），从而．
（3）证明：，
从而，证毕．
19．（1）则，
故在处的瞬时变化率为
（2）设
由条件可知恒成立，
由于，且的图象在定义域内是连续不间断的，
所以是的一个极大值点，则，
又所以解得
下证当时，对任意的恒成立，
令则，
由，
故函数在单调递增，在单调递减，
所以，即，而，
所以当时，，
综上，若恒成立，则，
（3）由（2）可知，
所以
，
先证,,
令，则，故在单调递增，
故，故，，
所以，
再证，
设，
则当时，单调递减，
当时，单调递增，
故当，故当且仅当时取等号，
故令，则故，
因此，
故，
综上可知：