2026年中考数学一轮复习专题课件：与圆有关的位置关系

2026年中考数学一轮复习专题★★　与圆有关的位置关系 考点一：与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系>＝＝< 考点二：切线的性质与判定垂直切点圆心1等于垂直相等  考点四：三角形的内切圆内心相等 【重要结论】三角形内切圆的相关结论1.51．(人教九上P101习题T1变式)(1)已知⊙O的半径是2，点P在⊙O内，则OP____2(选填“＞”或“＜”)；(2)已知⊙O的直径为9，若OA＝5，则点A与⊙O的位置关系是____________．2．(人教九上P101习题T2变式)(1)已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是____；(2)已知圆的直径为12 cm，如果圆心与直线的距离是8 cm，那么直线和圆的公共点的个数为____.＜点A在⊙O外相交03．(人教九上P102习题T12变式)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，过点A作AD垂直于过点C的切线CD，垂足为D.若∠CAD＝37°，则∠CAB的度数为( )A．37°　　　　B．53°C．63°　　　　D．74°A4.(人教九上P101习题T3变式)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径为 .15．(人教九上P100例2变式)如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.若AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 .56．(人教九上P103习题T14变式)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 .2 重难点：与切线相关的证明与计算突破设问一　切线的判定考向1：切点确定，连半径，证垂直 (1)如图①，AB是⊙O的直径，AB＝AC，点D在⊙O上，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线；证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠1，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)如图②，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB，点D在⊙O上，CD⊥AC于点C.求证：CD是⊙O的切线；证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.又∵OD＝OA，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠ADO＝∠CAD，∴AC∥OD，∵AC⊥CD，∴OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．(3)如图③，AC⊥BC于点C，BC是⊙O的直径，AB与⊙O相交于点D，EA＝EC，求证：ED是⊙O的切线；证明：连接OD，CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝∠ADC＝90°，∵EA＝EC，∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC.∵OD＝CO，∴∠OCD＝∠CDO，∵AC⊥BC，∴∠EDO＝∠ACB＝90°，即ED⊥DO，∵点D在⊙O上，∴ED是⊙O的切线．  【提分关键】当切点确定时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直1．当图中有90°角时：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线证得垂直；③利用三角形全等证得垂直．2．当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角；②若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角． 考向2：切点不确定，作垂直，证半径如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，若∠ABD＝∠OAD.求证：AB为⊙O的切线．证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD⊥BD，∠AOD＝∠BOC，∴∠OAD＝∠OBC，∵∠ABD＝∠OAD，∴∠ABD＝∠OBC，即BD平分∠ABC，∵OE⊥AB，∴EO＝CO.∵CO是⊙O的半径，∴EO是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线．突破设问二　切线的性质考向3：证明线段数量关系 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接OC与⊙O交于点D，连接AD，若D为OC的中点，求证：BC＝AD.证明：连接BD，∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∠CBO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D为OC的中点，∴CD＝OD＝BD，∵OB＝OD，∴OB＝BD，CO＝2OB，∴AB＝CO，∴Rt△COB≌Rt△ABD(HL)，∴BC＝AD.考向4：证明线段位置关系 如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC＝2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E.求证：CE⊥DE.证明：连接OD，∵AO＝DO，∴∠A＝∠ADO，∴∠BOD＝∠A＋∠ADO＝2∠A，又∵∠ABC＝2∠A，∴∠ABC＝∠DOB，∴OD∥CE，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴CE⊥DE.考向5：证明角度数量关系 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC上一点，以CE为直径作⊙O，⊙O恰好与AB相切于点D，连接CD.求证：∠B＝2∠ACD.证明：连接OD，∵AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB，即∠ODA＝90°，∴∠A＋∠AOD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠AOD＝∠B，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠AOD＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ACD，∴∠B＝2∠ACD.【提分关键】当切点不确定，证切线时，涉及“垂直＋角平分线”的情况下，过圆心作待证切线的垂线，利用角平分线的性质定理证明即可．【提分关键】证明线段相等的方法1．若两条线段共线，则考虑用等腰三角形三线合一的性质或直角三角形斜边中线的性质解决．2．若两条线段不共线，考虑将这两条线段转化到同一个三角形中，利用等腰三角形或等边三角形的性质求证．3．若两条线段分别在两个三角形中，可考虑证明三角形全等解决．4．若所证两条线段平行，可考虑利用特殊四边形对边相等的性质求证．证明两条线段平行的方法通过等角(同角)的余角(补角)相等及等边对等角等其他角度间的等量代换，得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，从而证明两线段平行．证明两条线段垂直的方法要证两条线段垂直，即要证两条线段所夹的角为90°.常见的方法有两种：1．当两条线段中的一条与第三条线段垂直时，只需证明另一条线段与第三条线段平行．2．设法将两条线段构成的夹角放在一个三角形中，通过角度间的等量代换，证得其余两角之和为90°.圆中求角度或证明角度数量关系的方法1．利用“圆周角定理”“弦、弧、圆心角”关系进行角度转化．2．根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于90°进行角度转化求解．3．根据两条半径构成的三角形为等腰三角形进行角度转化．突破设问三　求线段长方法1：利用勾股定理 如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上，若BC＝2，CD＝3，求⊙O的半径． 【提分关键】在圆中求线段长的方法1．若题干中作辅助线后有直角三角形存在，常运用勾股定理．2．若题干中含有特殊角(如30°，45°，60°等角度)或出现三角函数sin，cos，tan等时，一般考虑用三角函数解题．3．题目中无直角三角形时，一般考虑利用三角形相似计算线段长度．4．运用等面积公式法也可求点到直线的距离．    【考情分析】云南近6年主要考查切线的判定与性质，以解答题为主．在解答题中常结合相似三角形、锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状．难度大，分值一般8－12分．5 命题点1：与圆有关的位置关系(近6年考查1次)1．(2025·云南第16题2分)已知⊙O的半径为5 cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm. (1)证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，又∵AD⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．  (1)证明：连接OC，∴OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠ABC ＝ ∠DCA，∴∠OCB＝ ∠DCA，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＋∠ACO＝90°.即∠DCO ＝90°，∴DC⊥OC.∵OC是半径，∴DC是⊙O的切线．