广东省领航高中联盟2025-2026学年高一上学期12月检测数学试题(图片版含答案和答题卡)含答案解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设命题p：∃x＞0，x3＞x2＋2，则p的否定为
【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得¬p：∀x＞0， x3≤x2＋2.故选A．
2. 设集合A={x|x2≤3}，B=A⋂N，则B=
3. 设甲：ln x2＞0，乙：（x＋2）（x－3）＞0，则甲是乙的
【解析】由ln x2＞0解得x＞1或x＜－1，由（x＋2）（x－3）＞0解 得x＞3或x＜－2，故甲是乙的必要不充分条件．故选B．
5. 若∀x＞0，（t－4）2＜x，则实数t=
6. 函数f（x）=e2x＋ln x的零点所在区间为
8. 记a=lg 2＋ln 3，b=lg a＋ln（a＋1），则
【答案】AB（每选对1个得3分）
10. 已知函数f（x）=lgax＋b（a＞0且a≠1）的图象如图所示，则
【答案】ABD（每选对1个得2分）
11. 已知函数f（x）=（m2－2m－2）xm＋n＋n2是幂函数，则下列说 法正确的有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若a∈（1，4），b∈（－1，2），则a＋2b的取值范围 是 　　　　．
【解析】显然2b∈（－2，4），故a＋2b的取值范围是（－1，8）．
13. 算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时 间复杂度随输入规模N呈指数型增长．记最终所需算力为L，由硬件 导致的规模系数为r（可视为常数），则有L=2rN． 若当输入规模N 增加1时，所需算力L变为原来的4倍，则r= 　　　　．
【解析】由题意可得L=2rN，4L=2r（N＋1），两式作比，得4=2r， r=2.
14. 已知函数f（x）=4x－3a∙2x＋a，则曲线y=f（x）恒过定点的 坐标为 　　　　．
16. （15分）记集合A={x|m≤x≤m2}，B={y|－2＜y≤9}．（1）若A≠∅，求m的取值范围；
解：（1）由A≠∅，得m2≥m，（2分）解得m≤0或m≥1，（4分）故m的取值范围是（－∞，0］⋃［1，＋∞）．（5分）
（2）若A⫋B，求m的取值范围．
解：（2）当A=∅时题设显然成立，（7分）此时有m2＜m，解得0＜m＜1；（9分）当A≠∅时，有－2＜m≤m2≤9，（12分）解得－2＜m≤0，或1≤m≤3.（14分）综上m的取值范围是（－2，3］．（15分）
17. （15分）正数a，b满足a2＋b=4.（1）求a2b的最大值；
（2）求a4＋a2b＋b2的最小值．
18. （17分）已知函数f（x）=x2－ax＋a－b．（1）当a=b=2时，求f（x）在区间［－2，3］上的最大值；
解：（1）当a=b=2时，f（x）=x2－2x=（x－1）2－1，故f（x）在区间［－2，1）上单调递减，在区间［1，3］上单调递 增，（2分）注意到f（－2）=8，f（3）=3，故f（x）在区间［－2，3］上的最大值为8.（4分）
（2）若∀x∈R，f（x）≥0，求b的最大值，并求当b取得最大时f（b）的值；
（3）若∃t∈［1，3］，使得f（t）=－b，求a的取值范围．
19. （17分）设函数f（x）=lga（bx－b－1），其中a＞0且a≠1， b＞0且b≠1.
（1）当b=2时，求f（x）的定义域；
（1）解：当b=2时，f（x）=lga（2x－2－1）=lga（2x－3）．（1分）根据对数函数的定义可知2x－3＞0，即x＞lg23，（2分）故f（x）的定义域为（lg23，＋∞）．（3分）
（2）当a=b时，利用定义法证明：f（x）在定义域内单调递增；
（2）证明：当a=b时，f（x）=lgb（bx－b－1），设f（x）的定 义域为D． 在D上任取x1，x2，且x1＜x2.f（x1）=lgb（bx1－b－1），f（x2）=lgb（bx2－b－1）．（4分）当b＞1时，指数函数y=bx在R上单调递增．（5分）由于x1＜x2，则bx1＜bx2，bx1－b－1＜bx2－b－1.又b＞1，故y=lgbu在区间（0，＋□）上单调递增，所以lgb（bx1－b－1）＜lgb（bx2－b－1），即f（x1）＜f（x2）．
故当b＞1时，f（x）在D上单调递增；（6分）当0＜b＜1时，指数函数y=bx在R上单调递减．由于x1＜x2，则bx1＞bx2，bx1－b－1＞bx2－b－1.（7分）又0＜b＜1，故y=lgbu在区间（0，＋□）上单调递减，所以lgb（bx1－b－1）＜lgb（bx2－b－1），即f（x1）＜f（x2）．即当0＜b＜1时，f（x）在D上单调递增．（8分）综上所述，当b＞1或0＜b＜1时，对于任意x1，x2∈D且x1＜x2，均 有f（x1）＜f（x2），故f（x）在其定义域内单调递增．（9分）
（3）若存在x∈（0，2），使得f（x）=0，证明：b＞2.
（3）证明：令f（x）=0，则lga（bx－b－1）=0，即bx－b－1=1，即bx=b＋2，故原题等价于关于x的方程bx－b－2=0在区间（0，2）上有解．（11分）设g（x）=bx－b－2.当b＞1时，g（x）在R上单调递增；当0＜b＜1时，g（x）在R上 单调递减，（12分）又由g（x）=0在区间（0，2）上有解及零点存在性定理知，g（0）∙g（2）＜0，即（b0－b－2）（b2－b－2）＜0，（14分）又b＞0且b≠1，解得b＞2.（16分）所以，若存在x∈（0，2），使得f（x）=0，则b＞2.（17分）