广东省2025-2026学年领航高中联盟12月高一上学期检测数学试题+答案

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12.（－1，8）
13.2
14.－lg23，19写成lg213，19也正确
15.解：（1）由题意得3＋lga3－lga=2，（3分）
即3lg a=3，（5分）
解得a=10.（7分）
（2）解法一：lg42026lg2562026=12ln2026ln4ln2026ln256=ln2562ln4=12lg4256=12×4=2.（13分）
解法二：lg42026lg2562026=14lg2202618lg22026=1418=2.（13分）
16.解：（1）由A≠∅，得m2≥m，（2分）
解得m≤0或m≥1，（4分）
故m的取值范围是（－，0］⋃［1，＋）．（5分）
（2）当A=∅时题设显然成立，（7分）
此时有m2＜m，解得0＜m＜1；（9分）
当A≠∅时，有－2＜m≤m2≤9，（12分）
解得－2＜m≤0，或1≤m≤3.（14分）
综上m的取值范围是（－2，3］．（15分）
17.解：（1）4=a2＋b≥2a2b，（4分）
即a2b≤4，当且仅当a=2，b=2时等号成立．（6分）
故a2b的最大值为4.（7分）
（2）a4＋a2b＋b2=（a2＋b）2－a2b=16－a2b≥12，（13分）
当且仅当a=2，b=2时等号成立．（14分）
故a4＋a2b＋b2的最小值为12.（15分）
18.解：（1）当a=b=2时，f（x）=x2－2x=（x－1）2－1，
故f（x）在区间［－2，1）上单调递减，在区间［1，3］上单调递增，（2分）
注意到f（－2）=8，f（3）=3，
故f（x）在区间［－2，3］上的最大值为8.（4分）
（2）由∀x∈R，f（x）≥0可得Δ=（－a）2－4（a－b）=4b＋a2－4a≤0，（5分）
于是b≤4a－a24=4－（a－2）24≤44=1，当且仅当a=2时等号成立，（8分）
故b的最大值为1，于是f（x）=x2－2x＋1，f（b）=f（1）=0.（9分）
（3）解法一：原题设等价于h（x）=x2－ax＋a在区间［1，3］上有零点．
注意到h（x）的对称轴为x=a2，
当a2≤1，即a≤2时，h（x）在区间［1，3］上单调递增，（11分）
而h（1）=1＞0，此时h（x）≥h（1）＞0，矛盾．（12分）
当a＞2时，令h（3）=9－3a＋a=9－2a≤0，得a≥92，
由零点存在性定理可知此时h（x）在区间［1，3］上有零点，符合题意．（13分）
当a∈（2，4）时，Δ=a2－4a＜0，h（x）＞0，矛盾．（14分）
当a∈4，92时，a2∈2，94⊆［1，3］，此时只要ha2≤0即可．
注意到ha2=a24－a22＋a=a（4－a）4≤0，
故由零点存在性定理知h（x）在区间1，a2上有零点．（16分）
综上，a的取值范围是［4，＋）．（17分）
解法二：原题设等价于方程x2－ax＋a=0在区间［1，3］上有解，（10分）
显然x=1不是方程x2－ax＋a=0的解，（11分）
当1＜x≤3时，
有a=x2x－1=（x－1）2＋2（x－1）＋1x－1=x－1＋1x－1＋2≥2（x－1）∙1x－1＋2=4，（14分）
当且仅当x=2时取等号，（15分）
又当x→1＋时，x2x－1→＋，（16分）
综上，a的取值范围是［4，＋）．（17分）
19.（1）解：当b=2时，f（x）=lga（2x－2－1）=lga（2x－3）．（1分）
根据对数函数的定义可知2x－3＞0，即x＞lg23，（2分）
故f（x）的定义域为（lg23，＋）．（3分）
（2）证明：当a=b时，f（x）=lgb（bx－b－1），设f（x）的定义域为D．
在D上任取x1，x2，且x1＜x2.
f（x1）=lgb（bx1－b－1），f（x2）=lgb（bx2－b－1）．（4分）
当b＞1时，指数函数y=bx在R上单调递增．（5分）
由于x1＜x2，则bx1＜bx2，bx1－b－1＜bx2－b－1.
又b＞1，故y=lgbu在区间（0，＋）上单调递增，
所以lgb（bx1－b－1）＜lgb（bx2－b－1），即f（x1）＜f（x2）．
故当b＞1时，f（x）在D上单调递增；（6分）
当0＜b＜1时，指数函数y=bx在R上单调递减．
由于x1＜x2，则bx1＞bx2，bx1－b－1＞bx2－b－1.（7分）
又0＜b＜1，故y=lgbu在区间（0，＋）上单调递减，
所以lgb（bx1－b－1）＜lgb（bx2－b－1），即f（x1）＜f（x2）．
即当0＜b＜1时，f（x）在D上单调递增．（8分）
综上所述，当b＞1或0＜b＜1时，
对于任意x1，x2∈D且x1＜x2，均有f（x1）＜f（x2），
故f（x）在其定义域内单调递增．（9分）
（3）证明：令f（x）=0，则lga（bx－b－1）=0，即bx－b－1=1，即bx=b＋2，
故原题等价于关于x的方程bx－b－2=0在区间（0，2）上有解．（11分）
设g（x）=bx－b－2.
当b＞1时，g（x）在R上单调递增；
当0＜b＜1时，g（x）在R上单调递减，（12分）
又由g（x）=0在区间（0，2）上有解及零点存在性定理知，
g（0）∙g（2）＜0，即（b0－b－2）（b2－b－2）＜0，（14分）
又b＞0且b≠1，解得b＞2.（16分）
所以，若存在x∈（0，2），使得f（x）=0，则b＞2.（17分）1
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