广东省深圳市2026届高三上学期 12月阶段性训练数学含解析（word版）

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1．设，（），若，则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】，
要想与0比较大小，则虚部为0，∴，∴，此时，满足要求；
2．已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，.
3．若角的终边过点，则( )
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】由角的终边过点，得，
所以．
4．已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于是定义域为的奇函数，得，，则；
= 1 \* GB3 ①若，得，得，矛盾，舍去；
= 2 \* GB3 ②若，根据，知，解得，复合条件
综上可得.
5．已知向量与的夹角为，，则( )
A．B．0C．D．2
【答案】D
【解析】，所以，则．
6．已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为( )
A．B．688C．D．888
【答案】B
【解析】如图，正四棱台，取上下底面正方形的中心，，
再取,分别为,的中点，过作，
则由题意可得，,，,则，
则在中，，
则该四棱台积为.
7．函数图象向左平移个单位得到曲线，若，则的最小值为( )
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】，，
得 = 1 \* GB3 ①，得，，当，；
= 2 \* GB3 ②，得，，当，；
综上上述，可得.
8．如图，在边长为2的正六边形中，点为正六边形的中心，点是正六边形内一个动点（含边界），则的最大值是( )
A．B．3C．6D．
【答案】C
【解析】在如图所示的正六边形中，已知四边形为平行四边形，则,
则
即当点与点重合时，的最大值是6.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知点与点关于点对称，
若，,,的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则,,,这组数满足( )
A．平均数为B．中位数为C．方差为D．极差为
【答案】BCD
【解析】由题意知，则，所以这组数的平均数为，中位数为，
方差为，极差为，故BCD正确，A错误．
10．已知圆:，圆:，直线:，直线与圆相交于,两点，则以下选项正确的是（ ）
A．若时，圆与圆有两条公切线
B．若时，两圆公共弦长为4
C．弦长的最小值为
D．若圆上恰有两个点到直线的距离等于2，则
【答案】BD
【解析】A：若时，圆:，此时圆心,半径，圆:，
即，圆心,半径，，此时两圆相内切，公切线有1条，
选项A错误；
B：若时，圆:，即，此时圆心,半径，
联立两圆的方程：，将两式相减得：：，
此时直线过圆的圆心，两圆公共弦长为4；
C：直线:，，显然直线过定点，连结,,则为直径，
过点作的垂线交圆于,两点，此时，
但是由于直线的斜率存在，故,选项C错误；
D：若圆上恰有两个点到直线的距离等于2，直线过定点，点在圆内部，则，
即，解得，选项D正确；
11.如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与平面所成角的正弦值为
B.点到平面的距离为2
C.直线与所成角的正切值是2
D.平面截正方体所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为轴，为轴，为轴.
，，，，，
对于A，平面的法向量为,直线的方向向量为,
设直线与平面所成角，则,故A正确.
对于B，,设面的法向量为,
，,令得,距离，故B正确.
对于C，，，设直线与所成角为，
则
所以，，故C不正确；
对于D，因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,
上底,下底,腰，所以面积,故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为________．
【答案】
【解析】在抛物线：中，，则，所以准线方程为．
设点的坐标为，由抛物线的定义，已知，即点到焦点的距离为，那么点到准线的距离也为，点到准线的距离为，所以，解方程，可得，点到轴的距离就是点横坐标的绝对值，因为，所以点到轴的距离为．
13．已知，，则_______．
【答案】；
【解析】由于，得，根据和差化积公式：
，得，由于，，
得，于是，得
14.已知双曲线的左､右焦点分别为，,过的直线交双曲线左支于，两点，
且，则双曲线的离心率_______．
【答案】
【解析】设，则，，，
由双曲线定义得：，解得，
所以，，，则为直角三角形，且，
中，，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数在处的切线垂直于轴．
(1)求实数的值；
(2)求函数的极小值．
【解析】（1）由,可得，则，
由于，∵，故．
（2），，，
则，，随的变化如下：
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极小值为．
16.(15分)设数列的前项和为，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)设数列，数列的前项和，求的取值范围．
【解析】(1),
= 1 \* GB3 ①当时，，得，
= 2 \* GB3 ②当时，，，两式相减得：，得，，
则是以为首项，为公比的等比数列；
(2)由(1)知：，，则，
则，
显然，显然数列是递增数列，于是,
综上可得
17.（15分）记的内角,,,的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长．
【解析】（1）由正弦定理，得，∵,
∴，∵,∴，
∴，∴或．∵,∴，∴，即．
（2）∵，∴，
∴，在中，由余弦定理可得，
，或
∴的周长为．
18.(17分)如图，在多面体中，平面，平面平面，四边形是正方形，是正三角形，，．
（1）证明：平面；
（2）若直线与底面的交点为，直线上是否存在点，
使得平面与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
解析】(1)取中点，连接．因为是正三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面,面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为平面,面，所以平面．
因为四边形为正方形，所以．
又因为平面平面，所以平面．
又因为,面,面，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
(2)为且，所以四边形为梯形，延长交的延长线于．
平面，所以平面．
以为原点，,,分别为,,,立如图所示的空间直角坐标系．
,,,,,，,，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
设，,则，
设平面的法向量为，
则，即
令，可得，
则，
解得，故．

19．（17分）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球．
(1)求第1轮试验成功的概率；
(2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；
(3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：．
参考数据：，，，．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【解析】（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球，
摸出红球，即试验成功的概率为．摸出黑球且试验成功的概率为，
所以第1轮试验成功的概率为．
（2），
所以，则所求经验回归方程为．
当试验轮数足够大，即足够大时，接近于0，则接近于0.782，故预测成功志愿者的比例为0.782．
（3）依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为，
则，发生有两种可能，直接摸出白球，概率为，
或者摸出黑球后再摸出白球，概率为，
所以，
则，因此．