微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分+习题+答案

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1、基本思路
（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.
（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论.
（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.
2、技巧总结
（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.
（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.
（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.
（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.
【典型例题】
例1．（2024·高三·山西·阶段练习）已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若轴上是否存在定点，使过点且斜率为的直线与曲线相交于（均不同于两点，且分别为直线的斜率）？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设点的坐标为，则
，
即
即，即，
即曲线的方程为.
（2）设存在定点，使为定值，则直线的方程为，
联立可得，
设，
则，即，
且
则
，
解得.
故存在点使得为定值.
例2．（2024·河南·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H.
(1)求椭圆E的方程；
(2)问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）根据条件则，，
当点D位于短轴顶点时，面积的最大，且，
由，解得，或，
又，因此，，，
故椭圆E的方程为：.
（2）
（2）存在定点使得为定值，理由如下：
由题意过点P的直线与椭圆E交于A点，与直线交于M点，与椭圆E交于B点，与直线交于N点，
如图，设，，，.
根据条件有，，且①
由条件知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为
由①，②
联立，整理得，该方程有两个不同的实数根，，
则，由韦达定理可得，，
代入②中，整理得，又，化简得，
因此，即直线过定点.
过原点O作直线的垂线，垂直为H，则点H在以为直径的圆上，则的中点到H的距离等于为定值，
因此存在定点即为的中点使得为定值.
例3．（2024·广东佛山·二模）已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
(2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由题意可知双曲线的实轴在上，联立，
解得或，即双曲线的两顶点为，
故实轴长为；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，
曲线的方程为；
（2）方法一：设，，，显然直线的斜率存在，设：，
联立：得，
所以，，①，
因为：，令，则，同理，，②
依题意得，③
由①②③得，，
所以，即或，
若，则：过点A，不合题意；
若，则：．所以，恒过，
所以，．当且仅当，即时取得，
此时方程为，结合，
解得，，，
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为；
方法二：设，，，，，
则：，：，
联立，得，
为此方程的一根，另外一根为，则，
代入方程得，，
同理可得，，
即，，
则，
所以直线的方程为，
所以直线过定点,
所以．当且仅当，即时取得，
解得,
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为；
方法三：设，，，，，
则，
依题意，直线不过点A，可设：，
曲线的方程改写为，即，
联立直线的方程得，
所以，
若，则，代入直线方程，无解；
故，两边同时除以得，
则，得，
在直线：中，令，则，
所以，恒过，
所以，，
当且仅当，即时取得，此时，符合题意，
且方程为，解得，，，
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为．
例4．（2024·广东广州·一模）已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.
(1)求的方程：
(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：
(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得，解得，
故双曲线方程为
（2）当直线斜率不存在时，设,
将其代入双曲线方程，
又，解得，
此时，
当直线斜率存在时，设其方程为，设,
联立，
故，
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，
当时，此时，
，故，
因此，
综上可得.
（3）解法一：当直线与相切时，
圆心到直线的距离，
设设,
类似（2）中的计算可得
，
所以，
由双曲线的对称性，延长交双曲线于另一点,
则，且，
根据轴对称性可得,且直线与也相切，即即为,
符合题意，
当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，
故存在这样的圆，半径为
解法二：
设，，
由于为圆的切线，平分，且,所以,
设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时）
，
，将两根记为，
，
同理可得
故
，
故存在这样的圆，半径为
当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，
故存在这样的圆，半径为
例5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．
(1)求E的方程；
(2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程：
(3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线，
因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为，
令，解得，所以有 ①
又由离心率为2，得 ②，由①②解得，
所以双曲线E的标准方程是．
（2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性，
知，
联立方程，得，化简整理，得，
所以，且，
所以，解得，
所以直线的方程是或．
（3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，
故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得，
化简整理，得，
依题意有，因为恒成立，
所以，故，解得：，
设，，则由韦达定理，得，
设点S的坐标为，由，得，
则，变形得到，
将，代入，解得，
将代入中，解得，
消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时于交点为）．
因为，，且，取中点，
因为，
所以，
所以，故，
即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H，
设直线与y轴，x轴分别交于，，依次作出直线，，，，
且四条直线的斜率分别为：，，，，
因为，所以线段是线段的一部分
经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部，
因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部，
故不存在这样的点S，使得，且成立．
例6．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，其焦点为F，过点F的直线l交抛物线S于A和B两点，，角（如图）．
(1)求抛物线S的方程；
(2)在抛物线S上是否存在关于直线l对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线的焦点，直线方程为，
设，
由消去得：，则，
，，于是，解得，
所以抛物线S的方程为.
（2）由（1）知直线：，
假设在抛物线S上存在关于直线l对称的相异两点，设这两点坐标为，
于是直线的斜率，解得，
线段的中点在直线上，则，而应在线段上，必有与矛盾，
所以在抛物线S上不存在关于直线l对称的相异两点.
例7．（2024·高三·重庆·阶段练习）设、是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的中垂线与椭圆交于，两点；
(1)求的方程，并确定的取值范围：
(2)判断是否存在，使、、、四点共圆，若存在，则写出圆的标准方程；若不存在，请说明原因．
【解析】（1）依题意，可设直线的方程为，
代入，整理得①，
设，，则，是方程①的两个不同的根，
②，且．
由是线段的中点，得，
解得，代入②得，
即的取值范围是．
于是直线的方程为，即．
（2）
垂直平分，
直线的方程为，即代入椭圆方程，整理得③．
又设，，的中点为，
则，是方程③的两根，
，，且，，即，
于是由弦长公式可得．④
将直线的方程代入椭圆方程得⑤．
所以，，
同理可得⑥．
当时，，
．
假设存在，使得、、、四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心．
点到直线的距离为⑦．
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得．
故当时，、、、四点均在以为圆心，为半径的圆上．
此时圆的方程为.
例8．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点.
(1)若点是平面上的点，试证明：；
(2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由绝对值不等式知，，
而，
当且仅当，时等号成立，
即三点共线时等号成立．
故成立.
（2）点与点是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论：
若，则，
由条件①，得，
，，.
由条件②，得，
， .
因此，所求的点.
若，则，
由条件①，得，
代入条件得，解得，
结合条件②得，代入条件得，
解得，故.可得符合条件的点.
综上，当，时，存在符合条件的点，
当， 时，存在符合条件的点，
例9．（2024·重庆·模拟预测）已知点和直线，点到的距离 .
(1)求点的轨迹方程；
(2)不经过圆点的直线与点的轨迹交于，两点. 设直线，的斜率分别为，，记 ，是否存在值使得的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设点，由，
当时，，不成立，
所以，则，即；
（2）设，，则，，
又点在椭圆上，则，则，同理，
设直线与的倾斜角分别为，，则，
则，
则，
所以当时，为定值，即面积为定值.
【过关测试】
1．（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.
(1)若点为上一动点，求的最大值与最小值；
(2)若，求的斜率；
(3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设的左焦点为，则，
由椭圆的定义知，，
所以，
当且仅当点与的左顶点重合时取等号，
即的最大值为；
，
当且仅当点与的右顶点重合时取等号.
即的最小值为.
（2）设，则由，得，
所以，即，又在上，
所以，即解得
即.
故直线的斜率为.
（3）假设满足条件的点存在，设，
则，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
把代入，得，
所以，
，
，
所以为定值，
所以，解得，
存在定点，使得为定值；
当直线的斜率不存在时，易得满足为定值.
综上，存在定点，使得为定值.
2．（2024·北京丰台·一模）已知椭圆()的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得解得
∴椭圆的方程为．
（2）若存在定点，使得，等价于以为直径的圆恒过定点．
当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为①，
当直线的斜率为0时，令，得，
因此为直径的圆的方程为②．
联立①②，得猜测点的坐标为．
设直线的方程为，
由得．
设，则
∴
综上，存在定点，使得．
3．（2024·江苏·一模）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由右焦点为，得，
因为，所以，
若，则，得，无解，
若，则，得，所以，因此C的方程.
（2）设，易知过B且与C相切的直线斜率存在，
设为，
联立，消去y得，
由，得，
设两条切线BP，BQ的斜率分别为，，则，.
①设BF的斜率为，则，
因为，所以BP，BF，BQ的斜率成等差数列，
②法1：在中，令，得，所以，
同理，得，所以PQ的中垂线为，
易得BP中点为，所以BP的中垂线为，
联立，解得，
所以，，
要使，即，整理得，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法2：在中，令，得，因此，
同理可得，所以PQ的中垂线为，
因为BP中点为，所以BP的中垂线为，
联立，解得，
要使，则，所以，即，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法3：要使，即或，
从而，又，所以，
因为，
所以，解得，，所以，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法4：要使，即或，
从而，
在中，令，得，故，
同理可得，
因此，，
所以，
故，即，
整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法5：要使，即或，
在中，令，得，故，
同理可得，
由等面积法得，
即，整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知双曲线的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为，离心率为，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的右支上异于点的动点，直线与直线相交于点，直线与双曲线的另一个交点为，直线垂直于点，问是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由，
【解析】（1）
设双曲线的右焦点为，
双曲线的标准方程为，则其渐近线为，
由已知可得，结合，可得，
所以双曲线的标准方程为，
（2）由已知，直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去并整理得，①
则，且由这个方程的判别式可得，
设，则，
由已知可得，设，
由三点共线可得，
由三点共线可得，
消去并整理得，
又，所以上式可化为，
即，
整理可得，
若，则，代入①式可得，
因为点不与点重合，所以，即，
所以，
所以，即，所以直线过定点，
因为直线垂直于直线，垂足为点，所以点在以为直径的圆上，
所以存在点使为定值3，此时点的坐标为，
5．（2024·内蒙古包头·一模）已知椭圆：，是的一个焦点，是上一点，为的左顶点，直线与交于不同的两点，．
(1)求的方程；
(2)直线，分别交轴于，两点，为坐标原点；在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意可知，椭圆C的半焦距，
由得，
把D的坐标代入C的方程得，
由解得
所以C的方程为．
（2）假设在轴上存在点H，使得．
设，由，可知，
所以，即，所以．
因为直线交椭圆C于P，Q两点，则P，Q两点关于y轴对称．
设，，（，且），
由题意得，则直线RP的方程为，令，得，
直线RQ的方程为，令，得，
因为，所以，
又因为在C上，所以，即，
所以，得．
当时，由，得，
，，
所以，，
所以，又，为锐角，所以，
所以，满足题意，同理当时，也满足题意．
所以，在轴上存在点H，使得，且H的坐标为和．
6．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）已知分别是椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左右顶点，且
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上的一动点（点不在轴上），连接交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点，试问是否存在，便得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意，，，
则，故，
于是，椭圆的方程为.
（2）
如图，设点，又，
则直线的方程为：，代入方程整理得：，
设，由韦达定理，，解得：，则.
又因，则直线的方程为：，代入方程整理得：，
设，由韦达定理，，
得：，且,
故直线的斜率为，
则直线的方程为：，
将上述的表达式代入，即得直线的方程为：，
化简可得：，
因，故直线恒过定点.
于是
因，，
故.
7．（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆，与x轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于两点，弦的中点为M，直线与椭圆G相交于两点．
(1)若直线l的斜率为1，求直线的斜率；
(2)是否存在直线l，使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
设，则，
由A、B在椭圆上有，
作差得：，
易知，，
即，
所以直线的斜率为；
（2）假设存在直线满足题意，不妨设其方程为，设，
由，则，
所以，
且，
则，易得，
由椭圆对称性可设，则，
由，
所以
，
易知，
则，
即存在直线或满足题意.
8．（2024·福建·模拟预测）在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.
(1)求直线CD与平面所成角的大小；
(2)设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为平面，
平面平面，
所以.
所以直线在内的射影为直线，
所以直线与所成角为.
过作，垂足为.
因为平分，
所以.
又，所以，所以
又，所以.
因为，所以，
所以直线与平面所成角为.
（2）（i）曲线是椭圆,理由如下：
由（1）可知，，
所以是的中点,
设的中点为，所以.
又，所以.
在内过作，所以
以为原点，所在的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，所以，
设，又，
则.
因为，又，
所以，
化简得，即，
所以曲线是椭圆.
（ii）方法一：设.
在平面内，因为与不重合，可设，
由得，所以.
由对称性知，若存在定点满足条件，
则必在平面与的交线上，故可设.
若，则，
即，
因为，
所以，
当时，上式恒成立，所以符合题意；
当时，有，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，即.
因为上式对于任意的恒成立，所以.
综上，存在点满足，或时，符合题意.
方法二：设
在平面内，因为与不重合，可设，由得，
所以.
由对称性知，若存在定点满足条件，则必在平面与的交线上，故可设.
当与重合时，因为，又，
所以.
所以当时，符合题意.
当与不重合时，过作，
垂足分别为.连接，
则因为，所以.
又，所以平面，
所以，同理
又，所以，所以，
所以RtRt，所以直线平分
又在轴上，所以在平面内直线的倾斜角互补
在平面内，设直线的斜率分别为，
则
，
对于任意的恒成立，所以.
综上，存在点满足，或时，符合题意.
9．（2024·安徽阜阳·一模）已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
，
故当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，与的渐近线平行．
设直线，
则点到直线的距离为，
所以双曲线的标准方程为．
（2）由题可知，直线的斜率不为0，
设直线，
由得．
成立，
则，
．
，
．
故存在实数，使得成立．
10．（2024·高三·上海·阶段练习）如图，设椭圆为的左､右焦点，过点的直线与交于两点.
(1)若椭圆的离心率为的周长为6，求椭圆的方程；
(2)求证：为定值；
(3)是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的离心率的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
设椭圆的焦距为.
由题意，，解得，
故椭圆的方程为.
（2）椭圆左焦点的坐标为.
当直线的斜率为0时，为定值.
当直线的斜率不为0时，设的方程为.
点的坐标为方程组的实数解，消，得.
于是有，异号，故.
为定值.
综上，为定值.
（3）根据对称性，若为等腰直角三角形，只需考虑为直角或为直角.
设.
若为直角，由于,故轴，将代入椭圆方程中可得，解得，
则，,进而可得,故离心率；
若为直角，则，
可解得，，
由（2），，代入可得，
又
故离心率.
综上，可以为等腰直角三角形，此时离心率为或
11．（2024·广东·一模）在平面直角坐标系中，，，M为平面内的一个动点，满足：．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设动直线与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，该平面上是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为,
所以
，
即，所以，
即点轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以，
故椭圆方程为：.
（2）如图，
由，消去y并整理，得，
因为直线l：与椭圆C有且只有一个公共点P，
所以，即，
所以，，
此时，，
所以，
由，得，
假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H，则，
又，，
所以，
整理，得对任意实数，k恒成立，
所以，
解得，
故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H.
12．（2024·广东江门·一模）已知椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）依题意可得点在椭圆上，
所以，解得，所以椭圆的方程为.
（2）当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于，两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，设，
当与轴重合时，设直线与椭圆相交于，两点，不妨设，，
则由，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
下面证明：对任意的直线，均有，
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，，，
联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，
所以，，
所以，
易知点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
所以，则三点共线，所以；
综上：存在与点不同的定点，使恒成立.
13．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知椭圆与双曲线的离心率的平方和为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与椭圆和双曲线分别交于点，，，，在轴上是否存在一点，直线，，，的斜率分别为，，，，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知得，即，∴，∴；
（2）由（1）得椭圆与双曲线，
由已知得直线的斜率不为零，设直线的方程为，
，，，，，
将直线与椭圆联立 得，
，，，
.
将直线与双曲线联立 得，
由得，又,
而，，
.
当时，为定值.
故在轴上是存在一点，使得为定值0.
14．（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）
由题意设点，由于，
故，整理得，
即的轨迹方程为；
（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，
设直线的方程为，令，则可得，即，
直线，同理求得，
又直线的方程为，
令，得，即，
故
，
当时，取到最大值12，
即存在最大值，最大值为12.
15．（2024·北京怀柔·模拟预测）椭圆的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程和长轴长；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）如图所示，设两圆与椭圆的交点为，
根据椭圆的定义可知：，所以，
又由椭圆的离心率为，可得，则，
所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为.
（2）联立方程组，整理得，
由，解得，
设，则，
再设的中点为，则，
可得，所以，
假设存在实数和点，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
则，可得，所以，
解得，所以点，
又因为，可得，即，
整理得，
所以，
将代入可得，
即，
整理得，所以，解得，
当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，
此时，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.
16．（2024·福建漳州·模拟预测）已知椭圆的右焦点为是上的点，直线的斜率为．
(1)求的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别交于两点和两点，的中点分别记为，且为垂足．试判断是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意得解得
所以的方程为．
（2）存在点，使得为定值．
当均不与轴垂直时，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，
联立
消去整理可得，．
则，
设，则，，
所以．
同理得点的坐标为，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，解得，
所以直线经过定点；
当时，直线的方程为，也经过定点．
当与轴垂直或重合时，直线的方程为0，经过定点．
综上，直线经过定点．
记定点的中点记为，则，，
因为，所以为定值，
所以存在点，使得为定值．
17．（2024·高三·甘肃定西·开学考试）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤1：设圆心为E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点，使得直线TM，TN的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知，，
所以点轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，
因为，，所以，，
则，所以椭圆的标准方程为；
（2）由已知：直线过，设的方程为，由题意必定是存在的，
联立两个方程得，消去得，
得，
设,，,，
则，，
，
将代入上式，可得上式可得，
要使为定值，则有，，
又，，此时，
存在点，使得直线与斜率之积为定值；
综上，椭圆的标准方程为，存在点，使得直线与斜率之积为定值．
18．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xQy中，圆O：．
(1)P为直线l：上一点．
①若点P在第一象限，且，求过点P的圆O的切线方程；
②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；
(2)已知，M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．
【解析】（1）①设点P的坐标为，因为，故，
解得．又点P在第一象限，则，即P的坐标为，
易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，
则切线为，即，于是有，
解得或，因此过点P的圆O的切线方程为：或.
②设，则，由点A、B均在圆O上，
有圆与圆有公共点．
于是，解得，
即点P纵坐标的取值范围是；
（2）设，假设存在点，使得为定值，
由阿氏圆的定义易知点D在x轴上，设为，如图所示，
由阿氏圆性质有：，则，所以点D的坐标为，
由阿氏圆内外分比定理有：，
所以存在定点，使为定值2．
19．（2024·四川成都·模拟预测）已知点是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于两点，△面积的最大值为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，是否存在定点，使得直线的斜率之和为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设,，
∵(当且仅当是轴与椭圆的交点时取等号)，
∴.
又∵，∴，
∴椭圆E的标准方程为；
（2）设直线的方程为
由在直线上，得，
将直线和椭圆方程联立，
化简得，
由，得，
由根与系数的关系，得，
故直线的斜率之和为
要使上式为定值，则故，且
20．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）根据题意知直线的斜率不为0，设直线，，，
联立，消去整理得，
，，且，
，令，，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为或.
（3）在轴上存在点使得，理由如下：
因为，所以，即，
整理得，即，
即，
则，又，解得，
所以在轴上存在点使得.
21．（2024·广东深圳·一模）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：的值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
（2）设点，其中且，
（ⅰ）由（1）可知的方程为，
因为，所以，
因此，三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
，
所以为定值1；
（法二）设，则有，解得，
同理由，解得，
所以，
所以为定值1；
由椭圆定义，得，
，
解得，同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，
得，
，（*）
因为，
所以
，
将（*）代入上式，化简得，
（法二）设，依条件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，（常数）．
因此，存在常数使得恒成立，且．