湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省常德市汉寿县第一中学 2025—2026 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题
复数 z  2i （i 是虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
1 i
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
直线l 的方程为 x  y 1  0 ，则直线l 的倾斜角为（ ）
30B． 45∘C． 60D． 90∘
若点 Aa, 3 在圆C : x2   y 12  5 外，则实数a 的取值范围是（ ）
A． ∞, 1
B． ,1
C． , 1 1, 
D． 1,1
在等差数列{an}中，若 a5＝6，a8＝15，则 a14 等于()
A．32B．33C．－33D．29
在斜四棱柱 ABCD  A B C D 中， AA  AB  BC  CD  1 AD  1 ， BC //AD ，
1 1 1 1
π
12
–––→
A1AB  A1AD  BAD  3 ，则 A1C  （ ）
2
A．
B．
C． 2
D． 2
3
2
3
A ， B ，C ， D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是 1 （个人不投自
3
己的票），则仅 A 一人是最高得票者的概率为（ ）
A． 1
27
B． 4
81
x2y2
C． 5
27
FF
D． 8
81
已知双曲线C :
 1的左、右焦点分别为 1 、 2 ， A ， B 是双曲线上关于原点对称
97
的两点，并且 AB  2c ，则V ABF1 的面积等于（ ）
A． 6B． 7C． 8D． 9
–––→–––→
如图，在等腰△ ABC 中，已知 AB  AC  1, A  120 , E, F 分别是边 AB, AC 的点，且
AE  λAB, AF  μAC ，其中λ,μ 0,1 且λ 2μ 1 ，若线段 EF, BC 的中点分别为 M , N ，
––––→
则 MN 的最小值是（ ）
A． 7B．
7
7
21
C． 21D．
14
二、多选题
对抛物线 y  1 x2 ，下列描述正确的是（）
8
开口向上，焦点为(0, 2)
开口向右，准线方程为 x  1
32
开口向右，焦点为( 1 , 0)
32
开口向上，准线方程为 y  2
已知函数 f  x  2 sin x cs x  2 3 sin2 x ，则（ ）
f  x 的最小正周期为πB．   π ,
3  是曲线 f  x 的一个对称中心
 12

C． x   π 是曲线 f  x 的一条对称轴D． f  x 在区间 π , 5π  上单调递增

12 6 12 
123
A． V ABC 可能为直角三角形B．点 P 为V ABC 的垂心
1
C． OP2
 1
OA2
 1
OB2
 1
OC 2
D． S 3  S 3  S 3  S 3
三、填空题
→
已知向量a  (3,1) ， b  (1, 1) ，若a  (a  λb) ，则实数λ .
已知数列a 的前n 项和为S ，且S  n2 ，则a  a  a  .
nnn8910
x2y2
已知点 A 是椭圆C :

a2b
2  1a  b  0 的下顶点， F 是C 的右焦点，延长 AF 交C 于
点 B ，若 AF  2FB ，则C 的离心率为.
四、解答题
已知圆 C：（x+2）2+（y+2）2=3，直线 l 过原点 O．若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的斜率．
如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各个侧面均是边长为 2 的正方形，O 为 BC1 与 B1C 的交点，D 为 AC 的中点．求证：
AB1∥平面 BC1D；
BD⊥平面 ACC1A1．
在V ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，已知a  2 ， cs B  4 .
5
若b  4 ，求sin A 的值；
若V ABC 的面积S  3 ，求b 和c 的值.
已知函数 f  x  ln  x2  a  x 的图象关于原点对称.
求a 的值；
判断 f  x 的单调性；
若 x 0,1 ，不等式 f 4x  4 x   m  f m  21 x  21 x   0 恒成立，求实数m 的取值
范围.
F , F
x2y2
3
已知 12 为椭圆M :

a2b
2  1a  b  0 的左右焦点，椭圆的离心率为
2
，椭圆上任
意一点到 F1 , F2 的距离之和为4 .
求椭圆M 的标准方程；
过 F1 的直线l1 , l2 分别交椭圆M 于 A, C 和 B, D ，且l1  l2 ，试求四边形 ABCD 的面积 S
参考答案
1．A
【分析】根据复数的除法运算法则求出复数 z ，再根据复数的几何意义可得结果.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
A
C
B
C
AD
ACD
题号
11
答案
BCD
【详解】因为 z  2i 
2i(1 i)
 2  2i  1 i ，
1 i(1 i)(1 i)2
所以 z 对应的点(1,1) 位于第一象限.
故选：A 2．B
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求直线l 的倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为θ，则tanθ 1，又0 θ π，
∴θ 45 .故选：B. 3．C
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解.
5
【详解】由题意可知：圆C : x2   y 12  5 的圆心C 0,1 ，半径r ，
a  02  3 12
若点 Aa, 3 在圆C 外，则 AC 

，
a2  4
5
解得a  1 或a  1 ，所以实数a 的取值范围是, 1 1,  .
故选：C.
4．B
【分析】由等差数列的定义，列出方程分别求出a1 和d 即可.
【详解】设等差数列an 的公差为d ，
因为 a5＝6，a8＝15，
a1  4d  6a1  6
所以a  7d  15 ，解得d  3
 1
则a14  6 13 3  33 .
5．A
–––→
【分析】利用空间向量数量积可求 A1C .
–––→–––→–––→–––→–––→–––→
1 –––→
【详解】 A1C  A1A  AB  BC   AA1  AB  2 AD ，
1


 AA  AB AD
–––→–––→1 –––→ 2
2


–––→
则 A1C 
AA1  AB  4 AD  2 AA1  AB  AA1  AD  AB  AD
–––→2–––→21 –––→2–––→ –––→ –––→ –––→–––→ –––→

11 4  1  2 11 1 1 2  1 1 2  1
4
2
2
2
2
．
故选：A.
6．C
【分析】确定 A 的得票数，分情况计算概率，求和即可.
【详解】若仅 A 一人是最高得票者，则 A 的票数为3 ， 2 ．
若 A 的票数为3 ，则 P  1  1  1  1 ；

13 3 327
若 A 的票数为2 ，则 B ， C ， D 三人中有两人投给 A ，剩下的一人与 A 不能投同一个人，
P  C2  1  1  1  2  2   4 ．
233 3  3 327

所以仅 A 一人是最高得票者的概率为 P  P  P 
1  4  5 ，
故选：C. 7．B

12272727
【分析】连接 AF1 ， AF2 ， BF1 ， BF2 ，由条件证明四边形 AF1BF2 为矩形，利用勾股定理和
双曲线定义联立求出 AF1 BF1 的值，代入三角形面积公式即得.
【详解】由双曲线的对称性以及 A ， B 是双曲线上关于原点对称的两点可知， A ， B ，O 三点共线，
连接 AF1 ， AF2 ， BF1 ， BF2 ， AB  2c  F1F2 ，则四边形 AF1BF2 为矩形，所以 AF1  BF1 ， BF1  AF2 ，
2
由双曲线C : x
2
7
y
 1可得a  3 ， b ，
则c 
97
a2  b2
9  7

 4 ，
所以 AB  F F  2c  8 ，所以 AF 2  BF 2  AB 2  64 ，
1 211
又 AF1  BF1 
AF1  AF2
 2a  6 ，
所以 AF 2  BF 2  2 AF BF  36 ，解得 AF BF  14 ，
111111
1
2
所以SAF BF  7 .
V ABF111
故选：B.
8．C
––––→1
–––→–––→
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得 AM 
(μAC  λAB) ，
2
–––→  1 –––→  –––→ ，又MN  AN  AM 且λ,μ 0,1 且λ 2μ 1 ，可得––––→2 关于μ的函数
AN( ABAC) 2
MN
––––→
式，由二次函数的性质即可求 MN 的最小值.
【详解】在等腰△ ABC 中， AB  AC  1, A  120
∵ E, F 分别是边 AB, AC 的点，
–––→ –––→–––→ –––→1
，则 AB  AC | AB || AC | cs A   ，
2
––––→
1 –––→–––→1–––→–––→
–––→
1 –––→–––→
∴ AM 
( AF  AE) 
22
(μAC  λAB) ， AN 
( AB  AC) ，而 2
––––→–––→ ––––→
MN  AN  AM 
∴两边平方得：
–––→–––→
[(1λ) AB  (1 μ) AC]， 2
––––→2
MN
 1 [(1λ)
–––→2
2 AB
–––→ –––→
 2(1λ)(1 μ) AB  AC  (1 μ)
–––→2
2 AC ] 
1 [(1λ)
2  (1λ)(1 μ)  (1 μ)2 ]
44
λ2  μ2 λμλ μ1
，而
4
λ 2μ 1 ，
––––→2
7(μ 2)2  3
1 
∴ MN 2  7μ  4μ1  77 ，又λ,μ 0,1 ，即μ  0, 2  ，
44
––––→2
––––→21
∴当μ 7 时， MN
故选：C
最小值为，即 MN 的最小值为.
2814
MN
【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得MN  AN  AM ，结合已知条件转化为––––→2 关于μ的二次函数，求最值.
AD
【分析】把抛物线化为标准形式 x2  8 y ，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，把抛物线 y  1 x2 化为标准形式 x2  8 y ，
8
则抛物线的开口向上，且 P  2 ，所以焦点为 F (0, 2) ，直线方程为 y  2 .
故选：AD.
ACD
【分析】A 选项，利用三角恒等变换得到 f  x  2 sin  2x  π   3 ，故利用T  2π 求出最
ω
3 

小正周期；BC 选项，代入 x   π ，由函数值判断出 x   π 是 f  x 的一条对称轴；D 选
1212
项，求出2x  π  0, π  ，数形结合得到 f  x 在区间 π , 5π  上单调递增.
32 
 6 12 

3
3
【详解】A 选项，f  x  2 sin x cs x  2 3 sin2 x  sin 2x  3 cs 2x  2 sin  2x  π  ，
3 

故 f  x 的最小正周期为 2π  π ，A 正确；
2
3
B 选项，当 x   π 时， f   π   2 sin   π  π   2  3 ，
12 12  63 

故  π , 3  不是曲线 f  x 的一个对称中心，B 错误；
 12

C 选项，当 x   π 时， 2 sin  2x  π   2 sin   π  π   2 ，故 x   π 是 y  2 sin  2x  π 
12
3  63 
123 

的一条对称轴，也是 f  x 的一条对称轴，C 正确；
D 选项， x  π , 5π  时， 2x  π  0, π  ，由于 y  sin z 在 z  0, π  上单调递增，
 6 12 
32 
2 

 6 12 
故 f  x 在区间 π , 5π  上单调递增，D 正确.

故选：ACD 11．BCD
【分析】假设OA  a ， OB  b ， OC  c ，求出 AB ， BC ， AC ，根据长度和三角形形状的关系判断 A 选项，根据垂心的定义判断 B 选项，根据海伦公式求出S 2 判断 C 选项，求出S 2
和S 2 、S 2 、S 2 的关系判断 D 选项.
123
【详解】假设OA  a ， OB  b ， OC  c ，
a2  b2
所以 AB 
， BC 
， AC ，
b2  c2
a2  c2
因为任何两边的平方和大于第三边的平方，所以V ABC 是锐角三角形，故 A 选项错误；
由OA, OB, OC 两两垂直易证 AO  平面 BOC ，所以 AO  BC ，因为OP  BC ，
所以易证 BC  平面 AOP ，所以 BC  AP ，同理可得CP  AB ， BP  AC ，
所以点 P 为V ABC 的垂心，故 B 选项正确；
1
设V ABC 的面积为S ，因为四面体体积为
abc ，
6
所以 1 OP  S  1 abc ，等式两边平方可得 1
4S 2

，
36OP2
a2b2c2
由海伦公式可得S 2  k (k  AB)(k  BC)(k  AC) ，其中k  AB  BC  CA ，
2
所以S 2 
a2  b2
(
1 (
a2  b2
16
b2  c2


b2  c2
a2  b2
 a2  c2 )(
a2  c2 )(
a2  b2
b2  c2
 a2  c2 )
b2  c2
 a2  c2 ) 

b2  c2
1 [(
16
 a2  c2 )2  (a2  b2 )][(a2  b2 )  (
 a2  c2 )2 ]  1 (a2b2  a2c2  b2c2 ) ，
b2  c2
4
所以代回可得 1
 1  1  1

，故 C 选项正确；
OP2
11
a2b2c2
1
1
1  1  1
a2b2c2
OP 
S1  2 ab ， S2  2 bc ， S3  2 ac ，
a2b2c2
1  1  1
因为 1 OP  S  1 abc ，所以S  1 abc
，
，
362
所以S 2  1 (a2b2  b2c2  a2c2 )  S 2  S 2  S 2 ，
4
因为S  S1 ， S  S2 ， S  S3 ，
123
123123
所以S 3  S S 2  S 2  S 2   S 3  S 3  S 3 ，故 D 选项正确.故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据海伦公式求出 S 2 判断 C 选项，求出 S 2 和 S 2 、 S 2 、
12
3
S 2 的关系判断 D 选项.
12． 5
【分析】由向量的数量积为 0 可得．
rrrr 2
【详解】由a  (a  λb) 得a  (a  λb)  a
r r
 λ，λ 5 ．
a  b  10  λ(3  1)  0
故答案为： 5 ．
13．51
【分析】根据题意，可知当n  1 时， a1  S1  1 ，当n  2 时，根据an  Sn  Sn1 求出an
，再检验n  1 ，从而得出通项公式an ，即可求出a8  a9  a10 的结果.
nnn1
【详解】解：由题可知，当n  1 时， a1  S1  1 ，当n  2 时， a  S  S  n2  n 12  2n 1，可知n  1 时上式成立，所以an  2n 1n  1 ，
则a8  15 ， a9  17 ， a10  19 ， 所以a8  a9  a10  15 17 19  51 .
故答案为：51.
14． 3
3
【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率.
【详解】设椭圆C 的焦距为2c ，设 B m, n, A0, b, F c, 0 ，所以
m  3 c,
AF  c, b, FB  m  c, n ，因为
c  2 m  c
，所以，即
2，即 B  3 c, b  ，
AF  2FB

b  2n


22
n  b ,
2
 3 2 b 2
 c  
c21c3
因为点 B 在椭圆C 上，所以 2    2   1 ，所以 a2  3 ，所以C 的离心率为e  a  3 .
a2b2
故答案为： 3 .
3
15
15． k  4 
【分析】设出直线方程，由题意利用点到直线的距离公式即可求解.
k 2 1
2k  2
 3 ，
【详解】设直线 l 的方程为 y=kx．由直线 l 与圆 C 相切．则d 
整理为 k2﹣8k+1=0．解得： k  4  15 ．
【点睛】本题考查了点斜式方程、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于基础题.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）推导出 OD∥AB1，由此能证明 AB1∥平面 BC1D.
（2）推导出 BD⊥AC，AA1⊥BD，由此能证明 BD⊥平面 ACC1A1.
【详解】证明：（1）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各个侧面均是边长为 2 的正方形，
O 为 BC1 与 B1C 的交点，
∴O 是 B1C 的中点，∵D 为 AC 的中点.∴OD∥AB1，
∵OD⊂平面 BC1D，AB1⊄平面 BC1D，
∴AB1∥平面 BC1D.
（2）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各个侧面均是边长为 2 的正方形，D 为 AC 的中点.
∴BD⊥AC，AA1⊥BD，
∵AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面 ACC1A1.
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
17．(1) 3
10
13
(2) b ， c  5
【分析】（1）由cs B  4 求出sin B  3 ，由正弦定理得到答案；
55
（2）由三角形面积公式得到方程，求出c  5 ，由余弦定理得到b .
【详解】（1）Qcs B  4 ，且0  B  π ，
5
1 cs2 B
sin B 
 3 ， 5
由正弦定理得又b  4 ，
a
sin A
b，
sin B
sin A  a sin B 
2  3
5  3 ；
b410
（2） Q S 1 ac sin B  1  2c  3  3 ，
V ABC225
c  5 .
由余弦定理得： b2  a2  c2  2ac cs B  22  52  2  2  5 4  13 ，
5
13
b .
18．（1） a  1 ；（2） f ( x) 在R 上单调递增；（3） 1, 
【分析】（1）易知 f ( x) 为奇函数，可得 f (x)  f (x)  0 ，代入解析式，可求出a 的值；
先判断 f ( x) 在0,  上的单调性，再结合 f ( x) 是定义在R 的奇函数，可推出 f ( x) 在定义域上单调递增；
根据 f ( x) 的奇偶性，可得 f 4x  4 x   m  f 2m 2 x  2x  在[0,1] 上恒成立，再结
合函数 f ( x) 的单调性，可知4x  4 x   m  2m 2 x  2x  在[0,1] 上恒成立，进而令
t  2x  2x (0  x  1) ，可得t  0, 3  ，从而不等式可转化为t 2  2mt  m  2  0 在t  0, 3  上
2 
t 2  2
t 2  2
2 
恒成立，进而分离参数可得2m  
1 ，求出
t 
2
t  1 的最大值，即可求出m 的取值范围.
2
【详解】（1）因为 f ( x) 的图象关于原点对称，所以 f ( x) 为奇函数，
所以 f (x)  f (x)  0 ，即ln  x2  a  x ln  x2  a  x  ln x2  a  x2   ln a  0 ，解得a  1 .
易知 f ( x) 的定义域为R ，令 g(x) x2 1  x ，
因为函数 y x2 1 及 y  x 都在0,  上单调递增，所以 g(x) 在0,  上单调递增，
根据复合函数的性质，可知 f ( x) 在0,  上单调递增，
又因为 f ( x) 是定义在R 的奇函数，所以 f ( x) 在R 上单调递增.
由题意， f 4x  4x   m  f m  21x  21x   0 在[0,1] 上恒成立，等价于 f 4x  4x   m  f 2m 2x  2x  在[0,1] 上恒成立，
则4x  4x   m  2m 2x  2x  在[0,1] 上恒成立.
令t  2x  2x (0  x  1) ，显然t  2x  2x (0  x  1) 是增函数，则t  0, 3  .
4x  4x  2x  2x 2  2  t 2  2 ，
所以t 2  2mt  m  2  0 在t  0, 3  上恒成立.
2 
则2m  
t 2  2
t  1 ，
2 
2
2
令u  t  1  1  u  2  ，则 t
 2 
u2  u  9
4  u  9
u  9 4u
1  2
1  2 ，
2  2t  1u4u

2
当且仅当u 
9 ，即u  3 时，等号成立.
4u2
 t 2  2  
2
所以 t  1
2
所以2m  2 ，即m  1，故m 的取值范围为1,  .
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：
函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
x22
 32 , 2
19．（1） y
4
 1；（2）  25 .
【分析】(1)由椭圆的定义及离心率的意义求出 a，b 即可得解；
(2)按直线 l1 的斜率是否存在及是否为 0 的三种情况讨论，分别求出 AC，BD 长，再建立起 S
的函数关系，探讨其值域即可得解.
【详解】（1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率e  c 
a
3 得半焦距c ，b2  a2  c2  1，
3
2
所以椭圆M 的标准方程为：
x2  2
y
4
 1；
（2）由(1)知点 F1(
3, 0) ，
①当直线l1 的斜率为 0 时，直线l1 的方程为 y  0 ，则 AC  2a  4 ，直线l2 的方程为 x   3 ，
则l 与椭圆M 的二交点坐标为  3, 1  ，   3,  1  ，此时 BD  1，可得
22 2 
S 

1
2
AC BD  1  4 1  2 ； 2
②当直线l1 的斜率不存在时，直线l1 的方程为 x   3 ，则l1 与椭圆M 的二交点坐标为
( 3 , 1 ) ， (
22
3 ,  1 ) ，此时 AC  1，
1
2
22
直线l2 的方程为 y  0 ，则 BD  2a  4 ，可得S 
AC BD  1 1 4  2 ； 2
③当直线l1 的斜率存在且不为 0 时，设直线l1 的斜率为k k  0 ，则直线l1 : y  k x  3 ，
 y  k (x  3)

2222
由 x2
4


 y2  1
得1 4k  x
 8 3k x 12k
 4  0 ，
 2  ，设 A x , y , B  x , y  ，则 x  x
8 3k 2
 
, x x
12k 2  4
，
16k
160
1 122
121 4k 21 2
1 4k 2
1 k 2
1 k 2
 8 3k 
2
4 12k  4
2
 1 4k

2

 
1 4k 2
所以 AC 

同理可得 BD 
x1  x2
4 k 2 1
k 2  4

1 k 2x  x 4x x

12

2
1 2
，
4 k 2 1
 1 4k 2 ，
所以
18k 2 12
8k 4  2k 2 1
18k 218
S   AC BD  2  2 
24k 2 1k 2  44k 4 17k 2  44k 4 17k 2  4
4k 2  4 17 ．
k 2
440 1 1
由于4k 2  8 （当k  1 时取等号）， 4k 2 17  25 ，2425 ，
k 2
0 18
k 2
 1832  2 18 2
4k 
32
k 2 17
4k 2  4 17
k 2
25 ， 254k 2  4 17
k 2
，所以 S  2 ，
25
综合①②③可知，四边形 ABCD 面积的取值范围是 32 , 2 ．
 25
12
【点睛】结论点睛：直线 l：y=kx+b 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离| AB | 1 k 2  | x  x |；
12
直线 l：x=my+t 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离| AB | 1 m2  | y  y | .