湖南省常德市汉寿县第一中学2026届高三上学期11月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2026届高三上学期11月期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,−2)，则z+2i的共轭复数为( )
A. 1+4iB. 1−4iC. 4+iD. 4−i
2.我们定义一种新运算“♁”：对于两个集合A和B，规定A♁B=(A∩B)∪(A∩B)，其中A和B分别表示集合A和B在全集U下的补集，已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2,3，集合B=2,4，则A♁B等于( )
A. 1,3,4B. 1,3C. 4D. {1,2,3,4}
3.已知等差数列an满足a1+a5+20=0，a9−a2−21=0，数列bn满足bn=an⋅an+1⋅an+2，记数列bn的前n项和为Sn，则当Sn取得最小值时，n的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1上的动点，且EH//FG，则必有( )
A. BD1⊥EHB. AD//FG
C. 平面BB1D1D⊥平面EFGH D. 平面A1BCD1//平面EFGH
5.若函数f(x)=(sinx)ln( x2+a+x)是偶函数，则实数a=( )
A. −1B. 0C. 1D. π2
6.已知a>0，b>0，且a3+b3+2ab=4，则a+b的取值范围是( )
A. 23,2B. 34,2C. 34,2D. 23,2
7.已知函数f(x)=sin(csx)+cs(sinx)，则下列结论错误的是( )
A. ∀x∈R,f(x−2π)=f(x)B. ∀x∈[0,π],f(x+π)>0
C. f(x)是奇函数D. f(x)的最大值大于 2
8.设随机变量X～N0,22，随机变量Y～N0,32，P|X|≤1与P|Y|≤1之间的大小关系是( )
A. P|X|≤1≤P|Y|≤1B. P|X|≤1=P|Y|≤1
C. P|X|≤1>P|Y|≤1D. P|X|≤1b>0)的一个焦点，若直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB=135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围是2− 240)的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F2作直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若H,G分别为▵AF1F2与▵BF1F2的内心，则|HG|的取值范围为2 2,4 63
D. 过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为π6和π3的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 3−12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a与b均为单位向量，它们的夹角为120°，那么|3a+2b|= ．
13.函数f(x)=csx−π6−sin3x的值域是 ．
14.某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形A′B′C′D′(如图)，已知A′D′//B′C′，∠A′B′C′=45°，A′D′=A′B′=12B′C′=1，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，已知sinA= 3sinB，∠C=π6．
(1)求证：b=c；
(2)在①ac= 3；②csinA=3；③c2=ab这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，求b的值和▵ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.(本小题15分)
某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试有两次机会，若第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用.面试只有一次机会，通过后即可录用.已知考生甲通过笔试的概率均为23，通过面试的概率为34.考生乙通过笔试的概率均为12，通过面试的概率为45.记“甲被录用”为事件A，“乙被录用”为事件B，事件A，B相互独立.求：
(1)P(A)；
(2)甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB=BC=CD=PA=1，AD=2．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点为F1,F2，右焦点到左顶点的距离是6，且离心率等于2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过F1作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于第二象限的A点和第一象限的B点，若AF1=|AB|，求k的值．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=x2+aln(x+2)，且f(x)存在两个极值点x1､x2，其中x1mx2恒成立，求m的最小值．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.B
5.C
6.B
7.C
8.C
9.CD
10.BC
11.BCD
12. 7．
13.[−8 39,8 39]
14.3 5π
15.【详解】(1)由sinA= 3sinB，根据正弦定理可得a= 3b．
又因为∠C=π6，由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=3b2+b2−c22 3b2= 32，
可得b2=c2，即b=c．
(2)若选①，
由ac= 3，且b=c，
所以 3b2= 3，解得b=c=1，
所以∠B=∠C=π6，∠A=2π3．
所以S▵ABC=12bcsinA=12×1×1× 32= 34．
若选②，
根据b=c，所以∠B=∠C=π6，∠A=2π3．
因为csinA=3，所以 32c=3，解得c=b=2 3．
所以S▵ABC=12bcsinA=12×2 3×2 3× 32=3 3．
若选③，
由(1)可得a= 3b，b=c，则ab= 3bc= 3c2，与c2=ab，矛盾，
故▵ABC不存在．

16.【详解】(1)由于“甲被录用”为事件A，事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能，
则P(A)=23×34+1−23×23×34=23．
(2)由(1)知P(A)=23，则“甲不被录用”的概率PA=13，
由题意“乙被录用”的概率P(B)=12×45+1−12×12×45=35，“乙不被录用”的概率为PB=25，
由于甲乙两人恰有一个人被录用的事件为AB+AB，事件A，B相互独立，
所以PAB+AB=PAB+PAB=23×25+13×35=715．
所以甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率为715．

17.【详解】(1)取AD的中点E，连接CE，如图，
因为AD//BC，AB=BC=CD=1，AD=2，所以AE=BC，AE//BC，
所以四边形ABCE为平行四边形，
所以CE=AB=12AD=1，所以CD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，
因为PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，
因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．
(2)过点B作BM⊥AD于M，以M为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中ABCD，AD//BC，AB=BC=CD=1，AD=2，
则AM=12,BM= 32,DM=32，
所以B 32,0,0,C 32,1,0,D0,32,0,A0,−12,0，P0,−12,1，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，因为PC= 32,32,−1,CD=− 32,12,0，
所以n→⋅PC= 32x+32y−z=0n→⋅CD=− 32x+12y=0，令x=1，则n=1, 3,2 3，
设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，因为AB= 32,12,0,PA=(0,0,−1)，
所以m⋅AB= 32a+12b=0m⋅PA=−c=0，令a=1，则m=1,− 3,0，
所以csm,n=m⋅nmn=2 1+3+12× 1+3=14．

18.【详解】(1)由条件可知a+c=6,ca=2；由此解得a=2,c=4；
b2=c2−a2，所以b2=12；所求的双曲线方程为x24−y212=1．
(2)由条件，知F1(−4,0)，直线l的方程是y=k(x+4)，
双曲线的渐近线方程为y=± 3x，
设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程组y=− 3xy=k(x+4)，解得A−4kk+ 3,4 3kk+ 3；
联立方程组y= 3xy=k(x+4)，解得B−4kk− 3,−4 3kk− 3
因为AF1=|AB|,A是F1B的中点，
于是−4+−4kk− 32=−4kk+ 30−4 3kk− 32=4 3kk+ 3，解得k= 33，所求k的值是 33．

19.【详解】(1)∵f(x)=x2+aln(x+2)(x> −2)，
∴f′(x)=2x+ax+2，
∵函数f(x)存在两个极值点x1､x2，且x1 −2)，
∴g(−1)0，即a>0a