江苏省南京市七校联合体2025-2026学年高三上学期12月期中数学试卷含答案（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
2.已知样本数据5,6,6,7,8,9,10,12,则该组数据的第 60 百分位数为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
3.已知 为单位向量，且 ，若 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
4.在 中, 的角平分线交 于 , 则
A. B. C. D.
【答案】B
5.已知数列 是公差不为 0 的等差数列， ，若数列 也是等差数列，则
A. 24 B. 20 C. 18 D. 15
【答案】B
6.清代的苏州府被称为天下粮仓, 大批量的粮食从苏州府运送到全国各地. 为了核准粮食的数量, 苏州府制作了 “小嘴大肚” 的官斛用以计算粮食的多少, 五斗为一斛, 两斛为一石. 已知一只官斛的容量恰好为一斛, 其形状近似于正四棱台, 上口为正方形，内边长为 2.5dm，下底也为正方形，内边长为 5dm， 斛内高 3.6dm，那么一石米的体积大约为
A. B. C. D.
【答案】C
7.已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】A
8.定义在 上的函数 ,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 ,其中 为虚数单位,下列说法正确的是
A. 若复数 满足 ,则 的实部为 2
B. 若 ,则 为实数
C. 若 ,则
D. 若 ，则 的最大值为 2
【答案】ABD
10.如图,已知正方体 的棱长为 2,点 是侧面 上的一个动点(含边界),且 分别是棱 的中点,则
A. 平面 截该正方体所得的截面图形是正五边形
B. 平面 平面
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ,则点 的轨迹长度为
【答案】BD
11.已知函数 的图象与直线 交于不同的三点 , ,且 ,则
A. 的极大值为 3 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ，则 ________.
【答案】
13.已知直线 与双曲线 相交于 两点. 若弦 被直线 平分，则实数 的值为_______.
【答案】 3
14.有一摸球游戏, 规则如下: 在盒子里放大小、质地完全相同的 4 个红球和 3 个白球, 不放回地依次随机取出，每次取出 1 个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记名为游戏结束时取球次数，则 的数学期望为________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了 1000 名学生, 得到如下列联表:
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关；
(2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取 3 名, 求恰有 1 人课外体育锻炼时间达标的概率.
附
【解析】(1)提出假设 : 课外体育锻炼时间与身体素质无关
所以有99%的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关
(2)记“恰有 1 人课外体育锻炼时间达标”为事件
则
答: 恰有 1 人课外体育锻炼时间达标的概率
注: 也可得分 .
16.已知数列 的首项 ,且满足递推关系 .
(1)求证: 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2) 记 ,数列 的前 项和为 ,若 ,求 .
【解析】(1)
,因为
所以 ;
所以数列 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列.
可得:
即:
(2)由(1)得, .
则 ,
所以 .

由 ,
得 ,
所以 ,解得 .
17.如图,三棱柱 的体积为 分别是 , 的中点， 是线段 上的动点，且 平面 .
(1)若 ，求证: 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ， 求实数 的值
【解析】
(1)连接 交 于 点，连接
分别是 的中点,
是 的重心,且
又 则
中,且
又 面 面
面
(2)在面 中，作 ，垂足为点 ，取 中点 ，连接 面 ，又 面
又
面
三棱柱体积 , 解得
为 中点
则 中,
以 为原点, 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系
则 ,
设面 的法向量为
则 代入得 取 得
设面 的法向量为
则 代入得 取 得
设平面 EFC 与平面 的夹角为
化简得 解得 或
或 .
18.在平面直角坐标系 中,抛物线 的焦点为 上有两个不同动点 .
(1)若直线 过点 ，求证: ；
(2)已知定点 ，若线段 ， ， 的长度依次成等差数列；
(i) 求证: 线段 的垂直平分线经过一个定点 ;
(ii)若(i)中的定点 到原点 的距离为 6,求 面积的最大值.
【解析】(1)显然直线 的斜率不为 0，又 ，所以可设直线 :
联立 消得
由韦达定理得
(2)(i)证明:设 ，则由已知及抛物线定义得
,即
当 时, 的垂直平分线方程为 ,
令 ,得
所以 的垂直平分线经过一个定点
当 时,由对称性知 的垂直平分线为 轴,也经过点
综上, 的垂直平分线经过一个定点
(ii) 由题意, ,解得 ,
所以
令 ,则 的中点
当 时, ,联立 消 得
且依题意 ,解得 且 ,且
由弦长公式得
又 到 的距离
所以 .
方法一:
当且仅当 ,即 时取等号,
所以
方法二: 令 ,则
记 ,令 得
当 时, 在 上单调递增;
当 时， ， 在 上单调递减；
所以
当 时,线段 的中点 ,由对称性知 为通径,不妨取
则
综上得 ，此时 或 .
19.已知函数 .
(1)当 时，求过原点且与曲线 相切的直线方程；
(2)当 ， 时，求证: ；
(3)当 时，若正实数 满足 ，求证: .
【解析】(1)设切点
在切点处切线的斜率为
切线方程为 ,
因为过原点,得 ,解得
所以切线方程为 .
(2)设 ，
则
设 ,
则 .
当 ,则 ,
则函数 在 上单调递增,则 ,即 因此函数 在 上单调递增,
故 ,所以 .
(3)由(2)可知,当 且 时,
故 .
当 时,设 ,
令 ,则 ,
故 在 上单调递增,
设 ,其中 ,且 ,
则 ,因此 在 上单调递增,
从而 ,
则 ,
进而可知
故 . 即 .
组别
课外体育锻炼时间
达标
不达标
合计
身体素质强
860
40
900
身体素质弱
40
60
100
合计
900
100
1000
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828