黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题与解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,所以 .
2.已知 是实数， 是关于 的方程 的一个根，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】.
3. “ ” 是 “函数 的图象关于点 对称” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】令 ,解得 .
4.已知直线 ，则 和 之间的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 和 平行,由两条平行线间距离公式得 .
5.为了得到函数 的图象,只需把函数 的图象上所有点,保持纵坐标不 变, 再将
A. 横坐标变成原来的 倍 B. 横坐标变成原来的 倍
C. 横坐标变成原来的 2 倍 D. 横坐标变成原来的 3 倍
【答案】C
【解析】因为 ,所以将 图象上所有点,保持纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,即可得到 的图象.
6.已知函数 是 上的偶函数,当 时, . 则不等式 的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数 是 上的偶函数,所以 图象关于直线 对称. 当 时, ,所以 在 上单调递减. 所以不等式 等价于 ,解得 .
7.已知 中, ,则 面积的最大值为
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】以 为原点, 所在直线为 轴建立平面直角坐标系,则 , 设 ,由已知得 ,整理得 ,所以点 到直线 距离的最大值为 2,所以 面积的最大值为 3.
8.已知正方体 ,点 分别在棱 上,且 ,过 三点的平面与棱 相交于点 ,若 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】 .
设 ,则 .
因为四点 共面,所以 共面.
设存在实数 ,
使得 .
所以 ,解得 . 所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知正三棱柱 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则
A. 平面 B.
C. 平面 D.
【答案】ACD
【解析】因为平面 平面 ,且 平面 ,所以 平面 . 故 A 正确.
因为 平面 平面 ,所以 与 是异面直线. 故 B 错误.
取 中点 ,则平面 平面 ,所以 平面 . 故 正确.
因为 ， ，所以 面 ，所以 ，即 . 故 D 正确.
10.过直线 上的动点 ,作圆 的两条切线,切点分别为 ,则
A. 直线 恒过点 B. 线段 的中点 在一个定圆上运动
C. 的取值范围是 D. 四边形 面积的最小值
【答案】ABD
【解析】设点 ,则两切点连线的直线方程为 ,因为 ,所以 ,所以直线 的方程为 ,即 ,所以当 ,即 时,直线 恒过定点 ,故 正确;
由垂径定理可知 ,因为直线 经过定点 ,所以 ,所以 中点 在以 为直径的圆上运动,故 正确;
因为 ,而 ,所以 的取值范围是 ,故 错误;
因为四边形 的面积等于 ,因为 ,所以 ,即四边形 面积的最小值等于 ,故 正确.
11.已知 ,且 周长等于 , 面积等于 4,则
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由已知得
整理得 ,
所以 . 故 正确.
由二倍角公式, ,
整理可得, ,
若 ,则 可知等式成立;
若 ,即 ,由诱导公式和正弦函数的单调性可知, ,同理 ,
又 ,于是 ,
与条件不符,则 不成立;
若 ,类似可推导出 ,则 不成立.
综上讨论可知, ,即 .
所以 ,所以 . 故 B 错误.
由面积得
由周长得 ,当且仅当 时取等号, 所以 . 故 C 正确, D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知平面向量 . 若 ，则 ________.
【答案】-7
【解析】因为 ,所以 ,解得 .
13.已知等比数列 ， ， ，则数列 的前 6 项和等于_______.
【答案】 63
【解析】由已知得 ,所以 ,所以 的前 6 项和等于 63 .
14.曲线 上的点到直线 距离的最小值为________.
【答案】
【解析】设 ,则 . 所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 .所以 恒成立,当且仅当 时,曲线 上的点到直线 距离最小. 所以点 到直线 的距离为所求最小值,等于 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 中,点 在边 上, 平分 ,且 面积是 面积的 2 倍.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 和 的长 .
【解析】(1)因为 ，
因为 ,
所以 ,所以 .
(2)设 到 的距离为 ，
因为 ,
因为 ,
所以 .
因为 ,平方得 ,
因为 ,平方得 ,
整理得 .
又因为 ，
所以 .
16.已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求证:数列 为等差数列；
(2)若 .
① 求 的通项公式；
②若 ， ， 成等比数列，求 的值.
【解析】(1)证明: 因为 ,
当 时, .
两式相减得 ,
所以 ,
所以 ,
两式相减得 .
所以 ,
即 对任意 且 都成立.
所以数列 为等差数列. 6 分
(2)①由已知可得 ，
解得 ,所以 .
②因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
所以 .
整理得 .
因为 ,所以 或 或 .
17.已知四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 为正三角形，平面 平面 为 中点.
(1)求证: ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值.
【解析】
(1)证明: 连接 ,在 中,因为 为 中点,所以 . 又因为 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 .
(2)解:因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面
所以 平面 ,
所以 .
以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系设 ,则 .
,
设平面 的法向量 ,则 ,
取 .
设平面 的法向量 , 则 ,取 .
所以 ,
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 0 .
18.已知椭圆 的焦距是 ，点 在 上.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若直线 交椭圆于 两点,且坐标原点 是 的重心,求 外接圆的面积.
【解析】(1)方法 1: 因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,将点 代入方程 ,
得 ,解得 或 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以椭圆 的离心率为 .
方法 2: 因为 ,所以 ,所以焦点坐标 和 ,
因为点 在 上,由椭圆定义可得 ,即 . 2 分所以椭圆 的离心率为 .
(2)因为 ，所以椭圆 的方程为 .
设点 的中点为 ，
因为 是 的重心,所以 ,
所以点 的坐标为 .
又因为 ,
两式相减,可得
设直线 的斜率为 ,所以 ,得 .
所以直线 的方程为 ,即
将 代入 ,
得 ,
将其代入 ，可解得 两点坐标，不妨设 ，
方法 1: 因为 轴,且 ,
所以 .
设 外接圆的半径为 ,
由正弦定理可得 ,所以 .
所以 外接圆的面积为 .
方法 2: 设 的中点为 .
又因为直线 的斜率等于 ,
所以线段 的垂直平分线方程为 ,
即 .
又因为线段 的垂直平分线方程为 ,
由 可解得 ,
所以 外接圆圆心坐标为 .
设 外接圆的半径为 ,
则 ,
所以 外接圆的面积为 .
方法 3: 设 外接圆的方程为 .
则 ,
解得 . 14 分
所以 外接圆的方程为 ,
即 .
所以 外接圆的面积为 .
19.已知实数 ，函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，函数 ，设 ，
求证: .
【解析】(1)因为 ,
所以当 时,函数 的定义域为 ;
当 时,函数 的定义域为 .
① 当 时，因为 ，所以 单调递增; 单调递减.
② 当 时，因为 ，所以 ， ， ， 单调递减，无单调递增区间.
③ 当 时,因为 ,所以 单调递增; 单调递减.
综上所述,当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减; 当 时, 在区间 上单调递减,无单调递增区间; 当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
(2)当 时，
则 ,
设函数 ,
则 .
因为 ,
所以 在区间 上单调递增.
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
所以 在区间 上单调递增.
因为 ,所以 ,
所以当 时, ,
因为 ,由此可得