江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

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（总分150 时间120分钟 命题人：刘溯 审核人：徐梅）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0
C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0
2.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A.(－∞，－eq \r(2)) B.(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C.(－∞，－eq \r(3)) D.(－∞，－2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
3.若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)
4.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
5.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. 1D. 2
6.设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A.1 B.2C.4 D.8
7.已知椭圆，点在曲线上，已知点与点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
8.已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知双曲线C：，则（ ）
A．双曲线C的离心率为B．双曲线C的虚轴长为
C．双曲线C的焦点坐标为和D．双曲线C的渐近线方程为
10.下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距是2
B．直线与平行，则实数的值为1
C．若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3
D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
11.已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是( )
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2可能为直角
C.四边形AF1BF2面积最大为4
D. 直线BE的斜率为eq \f(1,2)k
12.已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为_____.
14.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
15.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.
16.已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2；
(2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.
18.直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线平行，求直线的方程；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程．
19.已知圆：．
(1)当取何值时，直线：与圆相交得到的弦长最短；
(2)若直线过点且被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
20.在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：
①圆经过点；②圆心在直线上；
③圆与直线相切；
已知圆经过点，且__________
(1)求圆的方程；
(2)已知点，问在圆上是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，求λ的值.
22.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(ⅰ)求eq \f(|OQ|,|OP|)的值；
(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.