江苏省扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份江苏省扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量a=(1,n,2)，b=(−2,1,2)，若a与b垂直，则|a|等于( )
A. 5B. 7C. 3D. 41
2.曲线f(x)=ln(x+1)+2sinx在(0,f(0))处的切线方程为( )
A. y=xB. y=2xC. y=3xD. y=4x
3.如图，三棱锥O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=3MA，CN=12CB，则MN=( )
A. −14a+13b+13c
B. −34a+12b+12c
C. 14a+13b+13c
D. 34a+12b+12c
4.已知平面α的法向量为n=(x,1,−2)，平面β的法向量为m=(−1,y,12)，若α/​/β，则xy=( )
A. −1B. 1C. 174D. 154
5.已知空间中三点A(−1,0,0)，B(0,1,−1)，C(−1,−1,2)，则点C到直线AB的距离为( )
A. 63B. 32C. 2D. 3
6.函数f(x)=x2ex−1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，点E，F分别为线段BC与线段AD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为( )
A. 12
B. −14
C. 32
D. 33
8.函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f′(x)>1，则不等式ex⋅f(x)>ex+1的解集为( )
A. {x|x>0}B. {x|x0}
故选：A．
构造函数g(x)=ex⋅f(x)−ex，结合已知可分析出函数g(x)的单调性，结合g(0)=1，可得不等式ex⋅f(x)>ex+1的解集．
本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g(x)=ex⋅f(x)−ex，是解答的关键．
9.【答案】BC
【解析】解：(csπ6)′=( 32)′=0，故A错误；
(2x)′=2xln2，故B正确；
(lgx)′=(lnxln10)′=1xln10，故C正确；
( x)′=(x12)′=12x−12=12 x，故D错误．
故选：BC．
根据基本初等函数的求导公式求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为正四面体ABCD，所以∠BAC=∠BAD=∠DAC=π3，
所以AB⋅AD=AB⋅AC=AD⋅AC=1×1×12=12，
对于选项A，CD=AD−AC，
所以AB⋅CD=AB⋅(AD−AC)=AB⋅AD−AB⋅AC=12−12=0，
即AB⊥CD，故选项A正确；
对于选项B，MN=AN−AM=AN−12(AB+AC)=12(AD−AB−AC)，
则|MN|= [12(AD−AB−AC)]2
=12 AD2+AB2+AC2+2AB⋅AC−2AB⋅AD−2AD⋅AC
=12 1+1+1+1−1−1= 22，故选项B错误；
对于选项C，连接DM，在DM上取点O，使得OD=2OM，连接OA，
则OA⊥平面BCD，
则∠ADM即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，
在△ADM中，AM=DM= 32,AD=1，
则cs∠ADM=1+34−342×1× 32= 33，
由正四面体的结构特征可得，直线AB，AC，AD与平面BCD所成角的相等，
所以侧棱与底面所成角的余弦值为 33，故选项C正确．
对于选项D，AM=12AB+12AC,NC=AC−AN=AC−12AD，
则|AM|=|NC|= 32，
AM⋅NC=(12AB+12AC)⋅(AC−12AD)
=12AB⋅AC−14AB⋅AD+12AC2−14AD⋅AC
=14−18+12−18=12，
设直线AM，CN所成角为θ，
则csθ=|cs|=|AM⋅NC||AM||NC|=12 32× 32=23，
所以直线AM，CN所成角的余弦值为23，故选项D错误．
故选：AC．
把MN,AM,NC,CD分别用AB,AC,AD表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接DM，在DM上取点O，使得OD=2OM，连接OA，则OA⊥平面BCD，解△ADM即可判断C．
本题考查向量法的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：f′(x)=2x−x2ex，令f′(x)>0，解得：00，解得：x0，所以ax+1>0，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；
当a0；在区间(−1a,+∞)上，f′(x)