安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷共2页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出两集合，再根据交集和补集的含义即可得到答案.
【详解】，
或，
则，则.
故选：D
2. 使“”成立的必要不充分条件是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法，求得，结合选项，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得，
结合选项，可得不等式成立的必要不充分条件是.
故选：C.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域求法，即可列式求解.
【详解】函数的定义域满足不等式,解得且,
则函数的定义域为;
故选：A
4. 如图为函数的图象，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案.
【详解】当时，则，
由函数图象，时，，
所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C.
故选：D.
5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得在上单调递减，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为对任意，当时，都有成立，
所以在上单调递减，
则，即，所以.
即实数的取值范围是.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法，结合已知数据，即可比较大小.
【详解】∵，
∴，∴；
又，
∴，又均为正数，
∴，∴，
∴.
故选：A.
7. 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.
【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.
因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，
故图象上关于原点对称的点有3对.

故选：C
8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得.
【详解】由正实数，满足，所以，.
，
当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题，则命题的否定是：
B. ，则的最大值为1
C. 定义在上的函数为奇函数的充分条件是
D. “且”是“”的充分不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；举反例即可判断B选项；充分必要条件的判定：，则是的充分条件；，则是的必要条件条件；判断C，D选项.
【详解】A选项：命题，则命题的否定是，A选项正确；
B选项：举例，满足，但是该函数最大值为0，并不是1，故B错误；
C选项：在0处函数值为0的函数不一定是奇函数，例如，所以充分性不成立，C选项错误；
D选项：当且时，成立，满足充分条件；
当时，且不成立，例如，，故不是且的必要条件；
所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确.
故选：AD.
10. 下列命题是真命题的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A、C、D：根据不等式的性质结合作差法逐项判断，对B：根据幂函数的单调性判断.
【详解】对A：若，则，所以，A正确；
对B：在上单调递增，若，则，即，B正确；
对C， ，
若，则，
，即，C错误.
对D：，
当且仅当，即时，等号成立，则成立，D正确；
故选：ABD.
11. 已知定义在上的函数满足：，且，，则下列说法正确的是（ ）（注：分别表示对应函数的平方）
A.
B.
C. 为奇函数
D. 的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确.
【详解】对于A，取，则，A正确；
对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意，
不恒等于，
令，则，，故B错误；
对于D，将代入A中式子可得：，即，，
令，则，即，
为定义在上的偶函数，；
令，则，
令，则，即，
，的图象关于点对称，D正确；
对于C，取，，则，
由D知：，，
为奇函数，C正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____
【答案】或
【解析】
【分析】分与进行讨论即可得.
【详解】当时，，则，故，符合要求；
当时，，令，解得；
综上所述：满足条件的实数为或.
故答案为：或.
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数运算法则和性质即可计算.
【详解】
.
故答案为：.
14. 已知偶函数的定义域为，已知当时，，若，则的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，令，从而可得出函数在上得单调性，再判断函数的奇偶性，结合，求得，而所求不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案.
【详解】解：当时，由，
得，
令，当时，，
则，
所以函数在上递减，
因为函数为偶函数，所以，
则，
所以函数也是偶函数，
因为，所以，
不等式可化为，
即，
所以，解得，
所以的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 设集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先得出，然后按照是否为空集分类讨论；
（2）根据题意，可将问题转化成的讨论，再利用正难则反的思想，先计算出的范围，再求其补集即可.
【小问1详解】
，
根据可知，，有两种情况：
若，则，解得；
若，根据可得，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
【小问2详解】
若存在实数x，使同时成立，即，
考虑正难则反，先求，有两种情况：
若，则，解得；
若且时，则有，解得，
或，解得，
综上可得当时，或，
则当时，.
则实数的取值范围.
16. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）；
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
【解析】
【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数；
（2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可.
小问1详解】
当时，，
当时，，
所以.
【小问2详解】
当时，，
当时，万元，
当时，，当且仅当，即时等号成立，万元.
即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
17. 已知幂函数在定义域上不单调．
（1）求函数的解析式；
（2）函数是否具有奇偶性？请说明理由；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）奇函数，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解.
（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
小问1详解】
由幂函数，得，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
【小问3详解】
由及奇函数，
得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
18. 已知函数是定义在上的奇函数且
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；
（3）设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值.
【答案】（1）
（2）函数在上增函数，证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用题给条件列出关于a、b的方程，解之即可求得a、b的值，进而得到函数的解析式；
（2）利用函数单调性定义去证明函数在上为增函数；
（3）利用函数在上为增函数，构造关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
由在上的奇函数，
所以，则，则
由，得，所以.经检验符合题意；
【小问2详解】
函数在上增函数，证明如下：
设，且，
则，
又，所以，因为，所以，
所以，则，
故函数在上增函数；
【小问3详解】
，使得成立，
即，使得成立，
即，
∵，即，
使得成立，
，使得，
即，且，
即且，
当时，，
即且，解得：.
19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；
（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】（1）是上的有界函数；理由见解析
（2）
（3）存在，答案见解析
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数；
（2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案；
（3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案.
【小问1详解】
是上的有界函数，理由如下：
当时，，
当时，，
由对勾函数性质得或，
或，
或，
∴值域为，，
∴存在，使得，
所以是上的有界函数；
【小问2详解】
由题意可知在上恒成立，
，，
即，
∴在上恒成立，
∴．
设，，，
由，得．
∵在上单调递减，在上是单调递增，
∴在上，，．
所以，实数a的取值范围是.
【小问3详解】
，
∵，，
∴在上递增，
根据复合函数的单调性可得在上递减，
∴，
∴h(x)存在上界.
①若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
②若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
综上，当时，；
当时，.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质.