重庆一中2025-2026学年八年级（上）月考数学试卷

这是一份重庆一中2025-2026学年八年级（上）月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，属于无理数的是( )
A. 175B. 3C. 5D. -1.414
2.在平面直角坐标系中，点P(-1,2)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (1,2)B. (-1,-2)C. (-1,2)D. (-2,1)
3.下列调查中，选取的样本最具有代表性的是( )
A. 调查某校3000名学生的体检情况，选取该校初二年级的学生进行调查
B. 调查某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的50名同学进行调查
C. 为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对10名正在健身的老人进行调查
D. 为了解某公司1200名员工的每日睡眠时长，随机选取该公司120位员工进行调查
4.下列二次根式中，与 2不是同类二次根式的是( )
A. 8B. 12C. 18D. 12
5.在平面直角坐标系中，若点(a,b)在第三象限，则函数y=ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的三边为边向外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若AB=4，S3=10，则BC长为( )
A. 5
B. 6
C. 14
D. 2 5
7.估计2 6×( 6- 13)的值应在( )之间．
A. 6和7B. 7和8C. 8和9D. 9和10
8.如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是平面内的一个动点，连接EC、ED，且△CDE的面积始终等于长方形ABCD面积的16，连接EA，EB，则EA+EB的最小值是( )
A. 2 13
B. 4 2
C. 4 5
D. 12
9.如图，在平面直角坐标系中，已知A1(0,1)，A2(1,0)，A3(2,-1)，A4(3,-2)，A5(3,-1)，…，按这样的规律排列，则点A32的坐标是( )
A. (17,-2)B. (17,2)C. (15,-2)D. (15,2)
10.已知整式M=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，其中n为正整数，an≠0，an，an-1，⋯，a0均为绝对值小于3的整数，且满足an≥an-1≥⋯≥a0，n+|an|+|an-1|+⋯+|a1|+|a0|≤4.下列结论中正确的个数是( )
①若n=3，则M=x3；
②若n=2，则满足条件的整式M之和为4x2+x；
③若n=1，则满足条件的整式M有5个；
④所有满足条件的整式M共有12个．
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.7的算术平方根是 ．
12.函数y=x+1 3-x的自变量x的取值范围是 ．
13.在平面直角坐标系中，已知点A(n,n+1)，B(2-n,6)，若直线AB/​/y轴，则线段AB的长为 ．
14.已知关于x的方程2-x3-1-mx2=1的解是整数，则满足条件的所有整数m的绝对值的和为 ．
15.已知方程xm2-8+(m-3)y=7是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴的负半轴上，线段AB交y轴正半轴于点D，且AD=BD.点M在x轴的正半轴上，连接CM，AB//CM.若点A(-6,0)，点M(2,0)，S△BCD=16，则点B的坐标为 ．
17.如图，在正方形ABCD中，AB=9，点M为线段BC上一点，连接AM，将△ACM沿着AM翻折得到△AEM，此时AE平分∠BAM，连接BE，在线段AM的延长线上取点H，连接BH与线段EM交于点G，且满足AB=BH，则线段EG的长度为 ．
18.我们规定：若一个正整数M能写成A2-B2(A>B)，其中A与B都是两位数，A的十位数字与个位数字互不相等，均不为零，且A的十位数字与B的个位数字相同，A的个位数字与B的十位数字相同，则称M为数A的“衍生平方差数”，并把M分解成A2-B2的过程，称为“平方差分解”.例如：因为2079=522-252，所以2079是52的“衍生平方差数”，将2079分解成522-252的过程就是“平方差分解”.按照这个规定，最小的“衍生平方差数”是 .把一个“衍生平方差数”M进行“平方差分解”，即M=A2-B2，且2A+B=k2(k为整数)，把另一个“衍生平方差数”N进行“平方差分解”，即N=P2-Q2，若将P放在Q的左边恰好组成一个新的四位“衍生平方差数”C，即满足C=100P+Q，当C最大时满足条件的正整数M与N的和为 ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 75- 27+ 13；
(2)解方程组：2x-y=53x+4y=2．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：[(2xy-4)2-(xy+2)(xy+8)+16xy]÷(-12xy)，其中x2-6x+y2-2y+10=0．
21.(本小题10分)
如图，△ABC中，D、E分别为边BC、BA延长线上一点，连接AD，∠ABC=12∠EAC．
(1)用直尺和圆规作射线AF平分∠EAC，在射线AF上截取AG=CD，连接BG.(要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论)；
(2)在(1)所作的图中，求证：△ABG≌△CAD(请完善下面的证明过程)．
证明：∵AG平分∠EAC，
∴①______=∠CAF=12∠EAC．
∵∠ABC=12∠EAC，
∴∠EAF=∠CAF=∠ABC，
∴AF/​/BD，
∴∠CAF=∠ACB(②______)，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=③______．
∵AF/​/BD，
∴∠BAG+∠ABC=180°，即∠BAG=180°-∠ABC．
∵∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠BAG=④______．
在△ABG和△CAD中，
AB=AC∠BAG=∠ACD,AG=CD
∴△ABG≌△CAD(⑤______).
22.(本小题10分)
重庆某中学为了改善学校食堂服务，学校工作人员随机对部分学生开展了食堂满意度问卷调查，调查内容设置了以下五种类型，并将调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)此次抽取的学生人数共______人，其中在扇形统计图中，D类“偶尔校外换换口味”所对应的圆心角度数是______°；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校学生总数为2400人，请估计该校E类“习惯自带或外出就餐”的学生有多少人？
23.(本小题10分)
如图，△ABC为某公园的平面图，经测量AB=200 2米，∠ABC=45°，∠ACB=30°．
(1)求公园△ABC的面积；
(2)一辆广告宣传车沿着道路BC在B、C两站点之间来回宣传，宣传车周围250米以内能听到广播宣传.宣传车宣传时，A点处是否能听到？请说明理由.如果能听到，已知宣传车的速度是100米/分钟，那么宣传车沿着道路BC从站点B到站点C的行驶过程中，A点处一共能听到多少分钟的宣传？
24.(本小题10分)
用一元一次方程解答下列问题．
当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过600万辆的城市之一，消费潜力巨大.某4S汽车销售店顺应浪潮，9月份主推了A款燃油车和B款新能源汽车，已知该4S店销售1辆A款燃油车和1辆B款新能源汽车的总销售额为40万元，销售3辆A款燃油车、2辆B款新能源汽车的总销售额为96万元．
(1)求9月份每辆A款、B款汽车售价分别为多少万元？
(2)因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该4S店每引进2辆B款新能源汽车则必须引进1辆A款燃油车.该4S店9月份引进的A款燃油车和B款新能源汽车全部销售一空，其中引进了B款新能源汽车40000辆.10月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与9月份相比，每辆B款新能源汽车售价提高了2a%，同时为了响应国家的号召，对B款新能源汽车每辆进行4万元的现金补贴，每辆A款燃油车的售价则保持不变，最终10月份的A款燃油车销量相比9月份A款燃油车的销量降低了a%，B款新能源汽车销量相比9月份B款新能源汽车销量提高了15，10月份两款车的总销售额比9月份两款车的总销售额提高了31%，求a的值．
25.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，点C(m,6)在直线l上．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，点F为x轴上一动点，连接CF，DF，若△CDF的面积为10，求点F的坐标；
(3)如图3，点B是点A与关于y轴的对称点，连接BD，点M和N分别是线段AB，AD上的动点(点M不与点A，B重合)，且满足∠DMN=∠ABD.是否存在点M、点N使得△DMN为等腰三角形？若存在，请求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．
26.(本小题12分)
△ABC为等腰三角形，AC=BC，D为直线AB上一点，E为直线AC上一点．
(1)如图1，D为AB的中点，E在线段AC上，连接CD，BE交于点F，若∠ABE=45°，AC=BC=13，AB=10，求线段CF的长度．
(2)如图2，当点D在线段BA延长线上，点E在线段CA的延长线上，连接BE，且满足DE=BE，∠CEB=45°，延长DE、CB交于点F，点G、M分别为线段AC、BE上一点，连接DG，过点M作MN//BF交线段DF于点N，若∠EFB=∠GDE，GE=ME，求证：EN2+CE2=(BC+GE)2．
(3)当△ABC是边长为3的等边三角形时，D在线段AB上，AB=3AD，E为线段AC的中点，连接CD，点P为线段CD延长线上一点，连接AP，BP，PE，当AP+BP-DP取得最小值时，直接写出△APE的面积．
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】 7
12.【答案】xd2，
则：C=100P+Q=100(10p1+p2)+(10p2+p1)=1001p1+110p2，
C=D2-E2=99(d12-d22)，
所以：1001p1+110p2=99(d12-d22)，
左边必须被99整除：1001=91×11，110=11×10，所以左边恒被11整除，
由1001p1+110p2=99(d12-d22)可知，1001p1+110p2是9的倍数，
又1001p1+110p2=(9×111+2)p1+(9×12+2)p2=9(111p1+12p2)+2(p1+p2)，
∴2(p1+p2)必为9的倍数，即p1+p2能被9整除，
p1+p2在3到17之间，且是9的倍数，
所以p1+p2=9(18>17不可能)，
p1>p2且P1，P2≠0，
所以可能组合：(p1,p2)=(5,4)，(6,3)，(7,2)，(8,1)，
代入S=d12-d22=1001p1+110p299=9p1+10p1=5，S=55，
即d12-d22=55，解得d1=8，d2=3(唯一解)
p1=6，S=64：无整数解(因d1≤9,d12-d22≠64)，
p1=7，S=73：无整数解，
p1=8，S=82：无整数解(因d1≤9,d12=81b，
∵2A+B=2(10a+b)+(10b+a)=2la+12b=k2，
∴2la+12b=3(7a+4b)=k2，
∴7a+4b=k23，
∴k2被3整除，故k被3整除，
设k=3m，则：7a+4b=3m2，
a，b为1-9整数，a>b，范围18≤7a+4b≤95，
3m2可能值：m2=9，16，25，
∴3m2=27，48，75，
7a+4b=27：无解，
7a+4b=48：无解，
7a+4b=75：解得a=9，b=3，
对应：A=10×9+3=93，B=10×3+9=39，M=932-392=8649-1521=7128，
故M+N=7128+891=8019，
故答案为：297；8019．
19.【解析】(1) 75- 27+ 13
=5 3-3 3+ 33
=7 33；
(2)2x-y=5①3x+4y=2②，
①×4，得8x-4y=20③，
②+③，得11x=22，
解得x=2，
把x=2代入①，得y=-1，
所以方程组的解是x=2y=-1．
20.【解析】解：[(2xy-4)2-(xy+2)(xy+8)+16xy]÷(-12xy)
=[4xy2-16xy+16-(x2y2+10xy+16)+16xy]÷(-12xy)=(4xy2-16xy+16-x2y2-10xy-16+16xy)÷(-12xy)=(3x2y2-10xy)÷(-12xy)
=-6xy+20，
∵x2-6x+y2-2y+10=0，
∴x2-6x+9+y2-2y+1=0，
(x-3)2+(y-1)2=0，
x-3=0，y-1=0，
解得：x=3，y=1，
∴当x=3，y=1时，原式=-6×3×1+20=-18+20=2．
21.【解析】(1)解：如图，AG、BG为所作；
(2)证明：∵AG平分∠EAC，
∴①∠EAF=∠CAF=12∠EAC．
∵∠ABC=12∠EAC，
∴∠EAF=∠CAF=∠ABC，
∴AF/​/BD，
∴∠CAF=∠ACB(②两直线平行，内错角相等)，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=③AC．
∵AF/​/BD，
∴∠BAG+∠ABC=180°，即∠BAG=180°-∠ABC．
∵∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠BAG=④∠ACD．
在△ABG和△CAD中，
AB=AC∠BAG=∠ACD,AG=CD
∴△ABG≌△CAD(⑤SAS)．
故答案为：∠EAF，两直线平行，内错角相等，AC，∠ACD，SAS．
22.【解析】(1)此次抽取的学生人数54÷50%=108(人)．
扇形统计图中，D类“偶尔校外换换口味”所对应的圆心角度数为360°×18108=60°．
故答案为：108，60．
(2)C类的人数为108-6-54-18-9=21(人)，
补全条形统计图如图所示．
(3)2400×9108=200(人)．
∴估计该校E类“习惯自带或外出就餐”的学生有200人．
23.【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示：
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形，
在Rt△ABD中，∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵AB=200 2米，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB= AD2+BD2= 2AD，
∴AD=BD= 22AB= 22×200 2=200(米)，
在Rt△ACD中，∠ACB=30°，
∴AC=2AD=400(米)，
由勾股定理得：CD= AC2-AD2= 4002-2002=200 3(米)，
∴BC=BD+CD=200+200 3=200(1+ 3)米，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×200(1+ 3)×200=20000(1+ 3)平方米．
答：公园△ABC的面积为20000(1+ 3)平方米．
(2)∵宣传车周围250米以内能听到广播宣传，AD=200米，
∴当宣传车在B、C两站点之间来回宣传时，A点处能听到；
以点A为圆心，以250米为半径画弧交BC于点E，F，如图2所示：
则宣传车在E，F上宣传时，A点处都能听到宣传，
在△AEF中，AE=AF=250米，AD=200米，且AD⊥BC，
∴ED=FD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE= AE2-AD2= 2502-2002=150(米)，
∴ED=FD=150(米)，
∴EF=ED+FD=300(米)，
又∵宣传车的速度是100米/分钟，
∴A点处一共能听到宣传的时间为：300÷100=3(分钟)．
答：A点处一共能听到3分钟的宣传．
24.【解析】(1)设9月份每辆A款燃油车的售价为x万元，每辆B款新能源汽车的售价为y万元，
根据题意得：x+y=403x+2y=96，
解得：x=16y=24．
答：9月份每辆A款燃油车的售价为16万元，每辆B款新能源汽车的售价为24万元；
(2)根据题意得：16×12×40000(1-a%)+[24(1+2a%)-4]×40000×(1+15)=(16×12×40000+24×40000)×(1+31%)，
整理得：0.496a-9.92=0，
解得：a=20．
答：a的值为20．
25.【解析】(1)∵点C(m,6)在直线l：y=12x+2上，
∴6=12m+2，
解得：m=8，
∴C(8,6)；
(2)∵直线l：y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，
当y=0时，x=-4；当x=0时，y=2，
∴A(-4,0)，D(0,2)，
∴OA=4，OD=2，
∵C(8,6)，
∴点C到x轴的距离为6，
设F(f,0)，
∴AF=|f-(-4)|=|f+4|，
∵△CDF的面积为10，S△CAF-S△DAF=S△CDF，
∴12×|f+4|×6-12×|f+4|×2=10，
解得：f=1或f=-9，
∴点F的坐标为(1,0)或(-9,0)；
(3)设∠ABD=α，则∠DMN=∠ABD=α，
由(2)知：A(-4,0)，D(0,2)，OA=4，OD=2，
∴AD= OA2+OD2= 42+22=2 5，
∵点B与点A是关于y轴的对称点，OD⊥AB，
∴B(4,0)，
∴OB=4=OA，
∴OD垂直平分AB，AB=AO+OB=4+4=8，
∴BD=AD=2 5，
∴∠BAD=∠ABD=α，
∵△DMN为等腰三角形，
∴可分三种情况讨论：
①当MD=MN时，如图，
∴∠MDN=12(180°-∠DMN)=12(180°-α)=90°-12α，
∴∠ANM=∠DMN+∠MDN=α+90°-12α=90°+12α，
∠BMD=∠BAD+∠MDA=α+90°-12α=90°+12α，
∴∠ANM=∠BMD，
在△ANM和△BMD中，
∠ANM=∠BMD∠NAM=∠MBDMN=DM，
∴△ANM≌△BMD(AAS)，
∴AM=BD=2 5，
∴BM=AB-AM=8-2 5；
②当DN=MN时，如图，
∴∠MDN=∠DMN=α=∠BAD，
∴AM=DM，
∴OM=AO-AM=4-AM，
在Rt△ODM中，DM2=OM2+OD2，
∴AM2=(4-AM)2+22，
解得：AM=52，
∴BM=AB-AM=8-52=112；
③当DN=DM时，如图，
∴∠DNM=∠DMN=α=∠BAD，
∴点N与点A重合，
∴DM=DN=DA=2 5，
∴点M与B重合，不符合题意；
综上所述，线段BM的长为8-2 5或112．
26.【解析】(1)解：∵△ABC为等腰三角形且AC=BC=13，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴△ADC为直角三角形，
又∵D为AB的中点，AB=10，
∴AD=5，
∴在Rt△ADC中，CD= AC2-AD2= 132-52=12，
∵∠ABE=45°，CD⊥AB，
∴△BDF为等腰直角三角形，
∴FD=BD=5，
∴CF=CD-FD=12-5=7．
(2)证明：设∠ABC=α，
∵AC=BC，
∴∠DAE=∠BAC=α，
∴∠DBE=α-45°，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD=α-45°，
∴∠DEA=180°-∠EDA-∠DAE=180°-(α-45°)-α=225°-2α，
又∵∠EBF=180°-∠CBD-∠DBE=180°-α-(α-45°)=225°-2α，MN//BF，
∴∠EMN=∠EBF=225°-2α=∠DEA，∠ENM=∠EFB=∠GDE，
在△DGE和△MEN中，
∠DEG=∠EMN∠GDE=∠ENMGE=ME，
∴△GDE≌△ENM(AAS)．
如图，过点E作EQ⊥CE交BF于点Q，
则∠BEQ=45°，CE2+EQ2=CQ2，
∵△GDE≌△ENM，
∴∠DGE=∠BEN=180°-∠DEG-∠CEB=180°-(225°-2α)-45°=2α-90°，
∴∠GDB=∠DAE-∠DGE=α-(2α-90°)=90°-α，
∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=(90°-α)+(α-45°)=45°=∠BEQ，
在△DGE和△EBQ中，
∠GDE=∠BEQDE=BE∠DEG=∠EBQ，
∴△DGE≌△EQB(ASA)，
∴EQ=DG=EN，BQ=GE，
∴CE2+EQ2=CE2+EN2=CQ2=(CB+BQ)2=(CB+GE)2，
整理得：CE2+EN2=(CB+GE)2．
(3)解：如图，将BP绕点B顺时针旋转60°至BM，连接PM，MC，
∵∠ABP+∠MBA=60°，∠MBC+∠MBA=60°，
∴∠ABP=∠MBC，
在△APB和△CMB中，
AB=BC∠ABP=∠MBCBP=BM，
∴△APB≌△CMB(SAS)，
∵BP=BM，∠MBP=60°，
∴△MBP为等边三角形，
∴AP+BP=MC+BM=MC+MP，
∴(AP+BP-DP)min=(PM+MC-PC+CD)min，当且仅当C、M、P三点共线时取得最小值，
如图所示，作AN⊥CP，CF⊥AB，BQ⊥CP，
设∠MBC=α，
∴∠ABP=α，∠PAB=∠BCM=60-α，
∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-(60-α)-α=120°，
又∵∠MPB=60°，
∴∠APD=60°，
在Rt△CFB中，CF= CB2-BF2= 9-(32)2=3 32，
∵AB=3AD，
∴AD=1，
∴DF=AF-AD=32-1=12，
在Rt△CDF中，CD= CF2+DF2= 7，
又∵S△CDB=12DB×CF=12CD×BQ，
∴DB×CF=CD×BQ，
∴BQ=3 217，
∵△MBP为等边三角形，
∴BM=2MQ，
在Rt△BQM中，MQ2+BQ2=BM2，
解得：MQ=3 77，
∴MP=BP=BM=6 77，QP=3 77，
在Rt△BPQ中，CQ= BC2-BQ2=6 77，
∴AP=CM=CQ-MQ=3 77，
∴AN=AP× 32=3 2114，
∴S△APE=12S△APC=12×12×9 77×3 2114=2756 3．
A类.食堂美食探索家
B类.食堂满意常客
C类.食堂随缘就餐者
D类.偶尔校外换换口味
E类.习惯自带或外出就餐