浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校2025_2026学年九年级上学期9月月考数学试题-附答案

这是一份浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校2025_2026学年九年级上学期9月月考数学试题-附答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点解答即可．
【详解】解：A、不能旋转得到，错误；
B、可以旋转得到，正确；
C、不能旋转得到，错误；
D、不能旋转得到，错误；
故选：B．
2. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
3. 下列事件中属于必然事件的是（ ）
A. 等腰三角形的三条边都相等B. 两个偶数的和为偶数
C. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上D. 立定跳远运动员的成绩是
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、等腰三角形的三条边都相等，不是必然事件，不符合题意；
B、两个偶数的和为偶数，是必然事件，符合题意；
C、任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、立定跳远运动员的成绩是，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 已知二次函数，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线
C. 其顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由二次函数可知：，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴该二次函数的图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，
综上所述：只有C选项正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
5. 将抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，
所得抛物线的表达式是
故选：B．
6. 已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线表达式为，求出对称轴为直线，根据二次函数图象与性质分析即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线表达式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴为顶点，为最大值，图象上的点离顶点越远，则函数值越小，
∵，，
∴点和点相比，点离顶点更远，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、计算分析是解题的关键．
7. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8. 如图，在正方形网格中，任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有12种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵白色的小正方形有12个，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分能构成一个轴对称图形的有2种情况，
∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是．
故选A．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9. 已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（ ）
A. ，且B. ，且
C. ，且D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】二次函数的开口向上，当取任意实数时，都有，则关于的一元二次方程的根的判别式小于0，据此即可列不等式求解．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：由题意可知，，且关于的一元二次方程的根的判别式小于0，
即，
解得，
综上，，且，
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与对称轴直线交于点，与分别交于三点，下列命题正确的是（ ）
①若点的坐标为，则点的坐标为；
②对于任意，始终有；
③若，则；
④若，，则(，为常数)的所有根的和为2．
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可．
【详解】解：∵对称轴为直线，点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为，故①正确；
∵，
∴当时，抛物线有最小值，
∴对于任意，始终有，故②正确；
∵，
∴点C的坐标为，代入中，得
，
∴，故③错误；
∵当时，对称轴为，，则函数，
方程(，为常数)的根即和的根，
∴对于一元二次方程设其两根为，，根据韦达定理得；
对于一元二次方程设其两根为，，根据韦达定理得；
∴所有根的和为：，
由对称轴，可得，
∴，
∴，
∴(，为常数)的所有根的和为4，故④错误；
综上可知：①②正确，
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题；判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 二次函数的图象与轴交点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法，理解坐标轴上点的坐标的特点是解题关键．
【详解】解：当时，，
∴二次函数的图象与轴交点坐标是，
故答案为：．
12. 扔一枚质地均匀的骰子，朝上的数字大于4的概率是___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式是解题的关键．随机事件的概率的计算公式是“随机事件A的概率” ，据此计算即可．
【详解】解：一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有1，2，3，4，5，6，共有6种等可能性事件， 其中点数大于4的面有2个，
则朝上的数字大于4的概率为．
故答案为：．
13. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：，进而可得答案．
【详解】解：∵与是弧所对的圆周角与圆心角，，
∴．
故答案为：．
14. 抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征是解题的关键．
设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为，则在抛物线上，，整理作答即可．
【详解】解：设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为，
∴在抛物线上，
∴，
整理得，，
∴抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为，
故答案为：．
15. 在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽为，如果再注入一些水后，水面上升，此时水面宽度变为，则该水槽截面半径为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．正确地作出辅助线是解题关键．
过圆心O作于点F，交于点E，连接，．由垂径定理可求出，．设，则，再利用勾股定理和同圆半径相等可列出等式，解出x，即得出的长，从而可求出该水槽截面半径．
【详解】如图，过圆心O作于点F，交于点E，连接，．
由题意可知，，，
由垂径定理可知点E和F分别为，中点，
∴，．
设，则，
∵在中，，
在中，，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
则该水槽截面半径为．
故答案为：．
16. 已知二次函数（a，b为常数，且），并与一次函数的图象交于点，则_______（用含a的代数式表示）．若，当时，的最大值为m，最小值为n，则的最小值为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】已知一次函数过点，将代入一次函数可求出k的值，再将该点代入二次函数，进而得到b关于a的表达式；先根据b关于a的表达式写出二次函数的表达式，再根据对称轴公式求出对称轴，根据a的取值范围确定对称轴的范围，分析二次函数在给定区间上的最大值和最小值，进而求出最大值m和最小值n，最后再计算的表达式，结合a的取值范围求出的最小值．
【详解】解：由题意知，∵一次函数为，
∴令，则，
∴一次函数过，
又∵二次函数（a，b为常数，且），并与一次函数的图象交于点，
∴，且为，
∴，
∴，
由题意得，二次函数为：，
∴函数对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵时，的最大值为m，最小值为n，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的性质以及二次函数最值的求解．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17. 已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点是否在抛物线上，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不在
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握“用待定系数法求函数解析式”是解题关键．点在函数上即满足函数解析式．
【小问1详解】
解：经过，
，
解得：，
故抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
将点代入可得：
，
故点不在抛物线上．
18. 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若小明从箱子里任意摸出一个球，求摸出这个球是红球的概率；
（2）若小明第一次从箱子里任意摸出一个球，记下颜色后放回，第二次再从中任意摸出一个球，请用树状图法或列表法求出两次摸出的球一次是红球，一次是白球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点．掌握“概率所求情况数与总情况数之比”是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）用列表法表示出所有的等可能情况，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵箱子里放有1个白球和2个红球，
∴小明从箱子里任意摸出一个球，摸出这个球是红球的概率为；
【小问2详解】
解：列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的球一次是红球，一次是白球的情况有4种，
所以摸出的球中两次摸出的球一次是红球，一次是白球的概率为．
19. 如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）易证，由垂径定理可得结论.
【详解】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：
如图，连接EO，并延长交CD于F．
∵ EO过点O，E为AB的中点，
．
（2），，
．
∵ EF过点O，
，
垂直平分CD，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.
20. 如图所示，已知抛物线交轴A，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的对称轴及点的坐标；
（2）过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，你能判断四边形是什么四边形？并证明你的结论．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，点的坐标为
（2）四边形是平行四边形，证明见详解
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平行四边形的判定，二次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据，得出抛物线的对称轴为直线，再结合点的坐标为，进行列式计算，得出点的坐标，即可作答．
（2）先求出，因为抛物线交轴于点，所以，则，再求出，即，根据过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，得，即可证明四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线交轴A，B两点，点坐标为，
∴，
∴，
即点坐标为．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，证明如下：
由（1）得抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴交轴于点，
∴，
∵抛物线交轴于点，
∴，
则，
由（1）得点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
即，
∵过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，
∴，
∴四边形是平行四边形．
21. 如图，点在上，顺次连接，且，．
（1）求的度数；
（2）若的半径为2，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据即可求解；
（2）求出的度数可得，过点作交于点，连接，分别求出即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
，
如图，过点作交于点，连接，
则过，
由（1）可得．
因为
∴是等边三角形，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴
∴
∴，
∴．
22. 如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？
（3）求出所能围成的花圃的最大面积．
【答案】（1）
（2）7m （3）m2
【解析】
【分析】（1）设AB长为x（m），则BC长为 （30-3x）（m），根据墙的最大可用长度为10m，且BC的长度大于0，可得自变量的取值范围，面积为长乘宽，可得函数表达式；
（2）面积为63m2，即y=63，代入表达式可得x的值，根据x的取值范围，可得结果；
（3）把二次函数化成顶点式，根据函数的增减性求最值即可．
【详解】解：（1）设AB长为x（m），则BC长为（m），
∴且．即．
∴．
（2）由题意得：，解得：或7．
∵，∴不合题意，就舍去．
∴如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m．
（3）由题意知：，
∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值．最大值为．
∴篱笆围成的花圃的最大面积为m2．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的面积问题，根据题意理清关系是解题的关键．
23. 如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分．
（1）求证：；
（2）设，用含的代数式表示；
（3）若，求弦的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）因为直径，则，根据平分，可得，则可证明题目；
（2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可；
（3）利用勾股定理可求得，根据求出即可．
小问1详解】
证明：是直径，
，
平分，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：是直径，
，
，
，
，
，
即；
【小问3详解】
解：，且平分，
，，，
，
，，
，
．
24. 已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为．
（1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标．
（2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值．
（3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与性质，函数与方程的关系，二次函数最值，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法求得解析式为，再根据二次函数的性质即可求解；
（2）当时，由开口方向和对称轴知函数最小值取在当时， 再分别求出当时的函数值，确定最大值即可；
（3）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，原点在上方，顶点在线段下方，当时，原点在上方，在下方，根据抛物线与线段只有一个交点分别讨论即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，
得，
解得，
即：抛物线的解析式为：，
∴对称轴为直线，顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵且对称轴为直线，
∴当时，函数最小值取在当时，为，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
当时，，当时，，
则当时函数的最大值为，
即：，，
；
【小问3详解】
解：点坐标为，
的解析式为，
，则顶点为，
若，则，若，则，
当时，原点在上方，顶点在线段下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方，
，解得；
当时，原点在上方，在下方，
要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解，
即：有两个相等的解，且该解在0到4之间，
，
，
解得：，
又，则，
，
；
综上，抛物线与线段只有一个交点时，或．
白
红
红
白
（白，白）
（白，红）
（白，红）
红
（红，白）
（红，红）
（红，红）
红
（红，白）
（红，红）
（红，红）