云南省玉溪第一中学2026届高三上学期适应性测试（八）数学试卷（Word版附答案）

这是一份云南省玉溪第一中学2026届高三上学期适应性测试（八）数学试卷（Word版附答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（ ）
A．550B．450C．1100D．900
4．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.6827B．0.8414C．0.9544D．0.9772
5．某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ）
A．300 种B．90 种C．240 种D．150 种
6．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下面结论正确的有（ ）
A．若角为锐角，则角为钝角
B．
C．在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件
D．
10．下列有关说法正确的是（ ）
A．设随机变量服从正态分布，若，则
B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种
C．若，则
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；
11．飘带函数的图象如图所示，已知图象上两个点A，C关于原点对称（点的横坐标），过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为．将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作．则下列结论正确的是（ ）

A．B．若，当图象沿轴折叠时，
C．D．若，当图象沿轴折叠时，
三、填空题
12．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则 .
13．若，则 .
14．已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
15．已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点在边上，且，求的周长．
16．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
17．如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足．
(1)证明：平面；
(2)若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
19．已知函数在处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；
(3)若成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】，
则，
故选：A
2．B
【详解】.
故选：B.
3．A
【详解】由等差数列的性质知：，
所以数列的前10项的和为:
.
故选：A.
4．D
【详解】由，得
.
故选：D
5．D
【详解】先将5名学生分成三组的分法有：（种）
再将这三组学生分配到三个地段共有：（种）
所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（种）
故选：D.
6．B
【详解】把代入，得，
所以点在抛物线里面，
圆的圆心记为，
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点，
过点作抛物线准线的垂线垂足为，
则根据抛物线的定义得，
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为，
故的最小值为，
故选：B
7．B
【详解】任取，且，则，
所以，且，
因为当时，，所以，所以，
所以，所以在上单调递减；
因为，所以，，
所以，
所以，解得，
因此，不等式的解集为，
故选：B．
8．C
【详解】，
当时，，
故函数在单调递增.
解法一：构造函数，
，
故函数在单调递减，
则.
解法二：对数糖水不等式：.
先证明糖水不等式：，
理由：，
故
.
解法三：，
，
.
故选：C.
9．BD
【详解】A：是锐角，显然它的2倍仍是锐角，故本选项结论不正确；
B：
，所以本选项结论正确；
C：当时，显然为钝角三角形”，
此时
，显然不成立，因此本选项说法不正确，
D：
，
因此本选项结论正确，
故选：BD
10．ACD
【详解】对于A，设随机变量服从正态分布，
若，则曲线关于对称，则，故A正确；
对于B：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去，
则不同的安排方法有种，B选项错误；
对于C，
令，可得，
令，可得，
即可得，即，C正确；
对于D：，两边取对数得到，故，的值分别是和0.3，D正确；
故选：ACD.
11．BD
【详解】将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，如图1所示，连接AD.
∵，，，平面，平面,
∴平面，且为二面角的平面角，即.
∵平面,.∵，∴.
由题知，∴，，
∴，
当且仅当，即时等号成立，∴，故选项A错误；
当时，，故选项B正确；

将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，如图2所示，连接AB.

∵，，，平面，平面,
∴平面，且为二面角的平面角，即.
∵平面,.∵，∴.
由题知，∴，，
∴，
当且仅当，即时等号成立，∴，故选项C错误；
当时，，故选项D正确.
故选：BD.
12．2
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且，
所以，
所以.
故答案为：2
13．
【详解】因为，所以，所以.
所以.
因为，所以.
所以.
故答案为：.
14．.
【详解】，，，
，，
构造函数，，，转化为，，，，，
在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，，，，时，；
时，.则的大致图象如图所示：
（1）当时，当时，，，显然不等式不恒成立，不可能；
（2）当时，，，，从图象可以得到不等式恒成立，只需，两边取对数得，即，解得，设，，，，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，在处，取最大值，且取最大值为，则，即的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
16．(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）取的中点，连接，
由中位线可得：，
又，由，
所以，
所以，
即四边形为平行四边形，
所以，
又不在平面内，在平面内，
所以平面；
（2）因为平面，都在平面内，
又，
所以可得：两两垂直，如图建系：
则，
，
设平面的法向量为，
则，
设，可得，
所以，
设直线BC与平面所成角为，
，
即直线BC与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)(ⅰ) (ⅱ)
【详解】（1）由题可知,，所以，解得，
故椭圆C的标准方程为；
（2）(ⅰ)设，易知，
法一：所以，故，且．
因为，，所以，
即，解得，所以，
所以点的坐标为.
法二：设，则，所以
，，故
点的坐标为.
(ⅱ)因为,,由,可得
,化简得,即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）,
为到圆心的距离加上半径,
法一：设,所以
,当且仅当时取等号,
所以.
法二：设，则，
，当且仅当时取等号,
故.
19．(1)
(2)存在
(3)
【详解】（1）由求导得，
因函数在处取得极值，则
所以，则
当时，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以在处取得极值成立．
故．
（2）由（1）知方程，即，
令，因为，则需要在上讨论，显然，
，
则当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减
因为，，
所以存在唯一的，使
所以存在，使得在内有唯一的根
（3）令，
则
①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上，
所以即时，对成立，
所以时，对成立，
所以在上单调递减，
又，所以时，成立，
即此时，成立；
②当，，
记的两根为，
则，，
则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，所以不能恒成立，
即不能恒成立