云南省玉溪第一中学2026届高三上学期适应性测试（二）数学试题（Word版附解析）

这是一份云南省玉溪第一中学2026届高三上学期适应性测试（二）数学试题（Word版附解析），共17页。
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由得或，，
由，则，所以，
故选A．
2. 复数的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【详解】因为复数，根据复数的虚部概念可知，该复数的虚部为1.
故选：A.
3. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
4. 下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】对A，二次函数的对称轴为，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C，，
定义域为，所以函数是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；
对D，，定义域为，
所以函数是偶函数，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值，故D正确.
故选：D
5. 设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，
因为双曲线的离心率为，所以，则，
所以，双曲线的方程为，
因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，
由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，则，所以，，
因此，椭圆的方程为.
故选：D.
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A. M与N是互斥事件B. M与N是相互独立事件
C D.
【答案】B
【详解】对于A中，当掷出2，此时事件同时发生，所以M与N不是互斥事件，所以A错误；
对于B中，由，，，满足，所以B正确；
对于C中，由B知：，所以C错误；
对于D中，由，，
所以，所以D错误．
故选：B.
7. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，两边平方得，
即，而，故．
所以，而，解得，
法一：所以．
法二：由和，可解得，得，
则．
故选：A.
8. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A 2B. C. 1D.
【答案】D
【详解】，，
由，
可得：，
构造函数，，可得，
由上式可知：，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 数据的第百分位数为
B. 已知随机变量，若，则
C. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则
【答案】BC
【详解】对于选项A，将数据从小排到大得到，
又，数据的第百分位数为，故选项A错误，
对于选项B，因为，则，所以选项B正确，
对于选项C，由题知，得到，所以选项C正确，
对于选项D，设，，，的平均数为，，，，的平均数为，
因为，则，又，
，
所以，故选D错误，
故选：BC
10. 设函数，若，且，则（ ）
A. 实数的取值范围为
B.
C.
D. 当时，
【答案】BCD
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意；
当时，由，得或；由，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
对于A，依题意，，实数的取值范围为，A错误；
对于B，由A选项知，，，B正确；
对于C，依题意，，则，
由，得，整理得，
则，当且仅当时取等号，解得，C正确；
对于D，由C选项知，且，
由，得，则，即，，
令函数，求导得，
当时，；当时，，在上递减，在上递增，
因此，则，即，D正确.
故选：BCD
11. 如图，在正三棱柱 中， 点为的中点，点 在棱上，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当点为的中点时，点为上底面内的动点(包括边界)，若平面，则点的轨迹长度为
C. 当点为靠近的四等分点时，与夹角的余弦值为
D. 当点为的中点时，将线段绕旋转 90°到，则在旋转过程中(包含与)与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于选项A：
因为三棱柱为正三棱柱，点为的中点，
所以，因为，
所以平面，又平面，
所以.所以A正确.
对于选项B：
取的中点，连接.
在中，为中位线，所以，又平面，平面，则平面.
在中，为中位线，所以又平面，平面，则平面.
又，平面，所以平面平面.
又为上底面的动点，则的轨迹为.
又，所以.B正确.
取的中点，连接，
则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
所以，.
所以，
所以与夹角的余弦值为.所以C错误.
对于选项D：
因为，，.
.
设平面的法向量为，则
，则，令，则.
因为点为的中点，则.
在绕旋转过程中，设旋转角为，则.
所以，所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
因为，所以，所以，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________．
【答案】##
【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和,并且他们投篮互不影响.
现每人分别投篮1次，恰好有一个人命中包含以下两种情况：
甲投中，乙没投中，概率为：,
甲没投中，乙投中，概率为： ,
所以恰好有一个人命中的概率
故答案为：
13. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为当时，解得，函数有一个零点；
因此，要使函数有两个零点，只需时，函数有一个零点．
当时，函数对称轴为，
若，只需，解得；
若，只需，可得；
若，有且只有一个零点，不满足条件，
综上，的取值范围为．
故答案为：
14. 椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则______．
【答案】 ①. ②.
【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故，
连接，因为为内心，故为角平分线，
由角平分线性质，有，故，
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，
故抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，
所以，轴的非负半轴为的平分线，
根据抛物线的对称性，不妨设点，则，
则，解得，
所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
故面积.
16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，，且，
则.，
由正弦定理得，
因为，所以，
可得，即.
且，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，或（舍），
所以的面积.
17. 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
（1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
（2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【小问1详解】
设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，
已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为.
情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为.
情况三：甲做对1题，乙做对1题
甲做对1题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对0题，乙做对2题的概率为.
因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题.
【小问2详解】
设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，.
已知，，，，且各事件相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对1题
甲做对2题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对2题，乙做对1题的概率为.
情况二：甲做对1题，乙做对2题
甲做对1题的概率为
乙做对2题的概率为
所以甲做对1题，乙做对2题的概率为.
由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为.
18. 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
【答案】(Ⅰ)见解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)见解析.
【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得点F的坐标为，
由可得，
设平面AEF的法向量为：，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为：，
很明显平面AEP的一个法向量为，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面AEF的一个法向量为：，
其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
19. 已知函数（），其中，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的最小整数值．
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）最小整数值为．
【详解】（1），令，得．
①当，即时，在上恒成立，所以在上单调递减．
②当，即时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减：当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2），即，即在上恒成立．
设，，则，在上为减函数．
又，．因此存唯一实数，此时在上单调递增，在上单调递减，所以．
因为，所以，．
所以．
因为，所以，即．
因此，即，所以的最小整数值为．