广东省阳江市阳西县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省阳江市阳西县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 汉语是中华民族智慧结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A. 旭日东升B. 画饼充饥C. 守株待兔D. 竹篮打水
3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若关于x方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）

A. B. C. D.
8. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
9. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ）
A. B. C. D.
10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 抛物线的顶点坐标是______．
12. 点，都在二次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”）．
13. 若是一元二次方程的一个实数根，则代数式______．
14. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______（结果保留）．
15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16 解方程：x2+4x﹣12＝0．
17. 如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、．
（1）以O点为位似中心，在y轴左侧将放大到原来的2倍得到；
（2）在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______．
18. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题．
（1）求关于的函数解析式．
（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 年月日，阳江核电·阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑，来自国内外名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑三个项目，请解答下列问题：
（1）若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“．欢乐跑”的概率为______；
（2）甲、乙两人从．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率．
20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
21. 综合与实践
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．

【问题解决】
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长．
23. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标；
（3）如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2024—2025学年度第一学期期末质量监测试卷
九年级数学
本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A. 旭日东升B. 画饼充饥C. 守株待兔D. 竹篮打水
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键．
【详解】解：A. 旭日东升是必然事件；
B. 画饼充饥是不可能事件；
C. 守株待兔是随机事件；
D. 竹篮打水是不可能事件；
故选：C．
3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线解析式的变化规律是解题关键．
根据抛物线平移时解析式“左加右减，上加下减”的变化规律即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴．
故选：B．
6. 若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围是解题的关键；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据根的判别式列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴．
故选：D．
7. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：箕面与水平地面的夹角为，
，即箕面绕点旋转的度数为，
故选：A．
8. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，根据圆周角定理得到，即可得到结论．
【详解】解：连接，
，
，
这个正多边形的边数为，
故选：．
9. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案．
【详解】解：连接，过点O作，垂足为H，
∴，
在中，
∴
即直尺的宽度为．
故选：C．
10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，
当a＜0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，
一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，
一次函数经过一、二、三象限．
符合条件的只有选项C，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
12. 点，都在二次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：
13. 若是一元二次方程的一个实数根，则代数式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解答本题的关键．
根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的一个实数根，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长的计算及生活中的旋转现象，根据弧长的公式进行计算即可．
【详解】解：由题知，，
所以重物上升了．
故答案为：．
15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为________．
【答案】5
【解析】
【分析】设，，则，证明，有，求解的值，根据计算求解即可得到阴影部分面积．
【详解】解：设，，则
由题意知，
∴
∴
∴
解得
∴
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数，矩形的性质，三角形相似的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
【答案】x1=﹣6，x2=2
【解析】
分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程变形为：（x+6）（x,﹣2）=0，
∴x+6=0或x﹣2=0，
∴x1=﹣6，x2=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．
17. 如图，已知O是坐标原点，点B、点C坐标分别为、．
（1）以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到；
（2）在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______．
【答案】（1）所作图形如图所示：
（2）
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，掌握位似图形的性质，是解题的关键：
（1）根据位似图形的性质，画出即可；
（2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图即为所求；
【小问2详解】
由（1）知：与的相似比为：，
∴与的面积比为：，
∵面积为m，
∴的面积为；
故答案为：．
18. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题．
（1）求关于的函数解析式．
（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】（1）
（2）小孔到蜡烛的距离为
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）把代入求出x的值即可．
【小问1详解】
解：根据题意，设，
把，代入，得，
关于的函数解析式为．
【小问2详解】
解：把代入，得，
小孔到蜡烛的距离为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 年月日，阳江核电·阳江海陵岛马拉松在海陵岛螺洲海滨公园鸣枪开跑，来自国内外的名参赛选手踏上山海相依、风光秀美的赛道，感受“绿能之都，海丝名城”的独特魅力．本届赛事共设置．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑三个项目，请解答下列问题：
（1）若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“．欢乐跑”的概率为______；
（2）甲、乙两人从．马拉松，．半程马拉松和．欢乐跑这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）根据概率公式直接计算即可；
（）画出树状图，根据树状图解答即可；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【小问1详解】
解：若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“．欢乐跑”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中甲、乙两人恰好选择同一项目的结果有种，
∴甲、乙两人恰好选择同一项目的概率为．
20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，得出，进而得出，则，推出，即可求证是的切线；
（2）连接，即可得出，结合等腰三角形的性质得出，进而推出是等边三角形，则，，得出，最后根据勾股定理即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线定理，直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉掌握圆的基本性质，并能与结合等腰三角形的性质．
21. 综合与实践
【答案】任务1：20，40；任务2：玩具机械狗不能放入该收纳盒
【解析】
【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据题意可得高的倍加上的长等于的长，高的倍加上倍的的长等于的长，据此求解即可；
（2）设出高，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论．
【详解】任务1：解：由题意得， ，
故答案为： ；
任务2：解：设收纳盒高为，
依题意得： ，
，
(不符合题意舍去)，
∴收纳盒长、宽、高分别为、 、 ，
，
∴玩具机械狗不能放入该收纳盒．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．

【问题解决】
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长．
【答案】（1）
（2）①四边形是正方形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；
（2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；
②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可；
【小问1详解】
，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
【小问2详解】
①四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
②过点作于点，如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型．
23. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标；
（3）如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为
【解析】
【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案；
（3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答．
【小问1详解】
解：代入到抛物线中，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：由（1）得：抛物线的解析式为，
当时，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵经过、两点，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴点坐标为．
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示，

由（2）得：，，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，，
，
，
，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，点横坐标为，
∴点坐标为 ，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，点坐标，与点重合，不符合题意，舍去；
当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去；
故点不存在；
②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示，

，，
，
，
，
同理①中的方法可得：，
∴，，
设，，
则，解得：，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴点坐标为；
∴综上所述，点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生．
制作有盖的长方体收纳盒
素材1
在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图．
图1
图2
图3 图4
素材2
小明利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小如图4所示．
问题解决
任务1
若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______
任务2
若收纳盒的底面积是，请通过计算，判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒?（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）
制作有盖的长方体收纳盒
素材1
在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图．
图1
图2
图3 图4
素材2
小明利用该展开图折成一个有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小如图4所示．
问题解决
任务1
若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______
任务2
若收纳盒的底面积是，请通过计算，判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒?（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）