湘豫名校2026届高三上学期入学摸底考试数学试题

这是一份湘豫名校2026届高三上学期入学摸底考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=2+3i，则z⋅z=( )
A. 13B. 13C. 5D. 5
2.已知集合A=y|y=csx，B=x|0≤x≤2π，则A∩B=( )
A. [−1,1]B. [0,1]C. ⌀D. 1,2π
3.已知样本数据7，8，6，10，6，5，9，12，则该组数据的第60百分位数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.与圆x2+y2=1外切，同时与圆x2+y2−6x−27=0内切的圆的圆心在( )
A. 椭圆上B. 双曲线的一支上C. 抛物线上D. 圆上
5.在等差数列an中，公差d≠0，若i=115ai=5(a2+ak+a6)，则k=( )
A. 8B. 12C. 16D. 18
6.已知f(x)在R上可导，则f′(1)=( )
A. limΔx→0f1−Δx−f(1)ΔxB. limΔx→0f1+Δx−f(1)Δx
C. limΔx→0f1+Δx−f1−Δx−2ΔxD. limΔx→0f(1)−f1−Δx2Δx
7.如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，MB=3，MC=2，则MN⋅MB−MC=( )
A. 132B. 92C. 72D. 52
8.定义在R上的函数f(x)的图象关于点12,12对称，且有f(x)=2fx3，当0⩽x10,b>0)的渐近线的斜率为±1，且实轴长为2.
(1)求Γ的标准方程；
(2)若Γ与直线l1:y=kx+m(k≠±1)有唯一的公共点M，过点M且与l1垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点．当点M运动时，点N(x,y)的轨迹为曲线E.
(i)求曲线E的方程；
(ii)过点Q(0,1)的直线l2与曲线E交于C,D两点，且点C,D分别位于y轴两侧，设E在点C,D处的切线交于点P，求△PCD面积的最小值．
附：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上任一点x0,y0处的切线方程为x0xa2−y0yb2=1(a>0,b>0)；椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点x0,y0处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1(a>b>0).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因z=2+3i，则z⋅z=2+3i⋅2−3i=22+32=13.
故选：A.
2.【答案】B
【解析】解：由余弦函数y=csx的性质得y∈[−1,1]，
所以集合A=y|y=csx=[−1,1]，
所以A∩B=[0,1].
故选：B.
3.【答案】C
【解析】解：将该组数据从小到大排列：5，6，6，7，8，9，10，12，共8项．
又8×60%=4.8，所以该组数据的第60百分位数为第5项，即8.
故选：C.
4.【答案】A
【解析】解：设动圆的圆心为P，半径为r，圆O1:x2+y2=1，圆O2:(x−3)2+y2=36，
则O1P=r+1，O2P=6−r,O1O2=3，
又O1P+O2P=7>O1O2，所以点P在以O1,O2为焦点的椭圆上．
故选：A.
5.【答案】C
【解析】解：由题中条件可得15a1+a152=52a4+ak，即15a1+a1+14d2=52×a1+3d+ak，
15a1+7d=52a1+6d+ak，3a1+21d=2a1+6d+ak，
∴ak=a1+15d=a16，所以k=16.
故选：C.
6.【答案】B
【解析】解：由导数的定义，可得limΔx→0f1+Δx−f(1)Δx=f′(1).
故选：B.
7.【答案】D
【解析】解：方法一：
因为△ABC为等边三角形，D是边BC的中点.所以AD⊥BC.故DN⋅CB=0，
所以MN⋅MB−MC=MD+DN⋅CB=MD⋅CB+DN⋅CB=MD⋅CB，
因为D是△MBC边BC上的中点，所以有MD=12MB+MC，
因此MD⋅CB=12MB+MC⋅MB−MC=12MB2−MC2=52.
方法二：

以D为原点，DC，DA为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设M(x,y)，N(0,n)，B(−a,0)，C(a,0)，
则MN=(−x,n−y)，MB=(−a−x,−y)，MC=(a−x,−y)，CB=(−2a,0)，
所以MN⋅MB−MC=MN⋅CB=2ax，
又因为MB=3，MC=2，所以有(x+a)2+y2=9(x−a)2+y2=4，
两式作差得4ax=5，故MN⋅MB−MC=2ax=52.
故选：D.
8.【答案】C
【解析】解：在f(x)=2fx3中，令x=0，得f(0)=0，
因为函数f(x)的图象关于点12,12对称，所以f(x)+f(1−x)=1，
令x=0，则f(1)+f(0)=1，所以f(1)=1，
又f(1)=2f13，所以f13=12，
在f(x)+f(1−x)=1中，令x=12，得f12=12，所以f13=f12=12，
又由已知，f(x)在[0,1]上是不减的函数，所以当13≤x≤12时，恒有f(x)=12，
由f(x)=2fx3，得f(x)=12f(3x)，
所以f12025=12f32025=122f322025=⋯=126f362025，
因为13≤362025≤12，所以f12025=126×12=1128.
故选：C.
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为AB//CD，故A1B、CD所成的角为∠A1BA或其补角，
由正方体可得△A1AB为等腰直角三角形，故∠A1BA=45 ∘，
故直线A1B与DC所成的角即为45 ∘，A错误．
对于B，如图，连接AB1，
由正方体可得A1B⊥AB1,AD⊥平面ABB1A1，
又A1B⊂平面ABB1A1，所以A1B⊥AD，
因为AB1∩AD=A，AB1,AD⊂平面ADB1，所以A1B⊥平面ADB1，
而B1D⊂平面ADB1，所以B1D⊥A1B，同理B1D⊥A1C1，
又A1B∩A1C1=A1，A1B,A1C1⊂平面A1BC1，所以B1D⊥平面A1BC1，B正确．
对于C，设正方体的棱长为a，则B1D= 3a，
因为B1H⊥平面A1BC1，所以VB1−A1BC1=13×12× 2a2× 32B1H=13×12a3，
解得B1H= 33a，所以B1H:HD=1:2，C错误．
对于D，因为B1H⊥平面A1BC1，且△A1BC1为正三角形，A1B1=BB1=C1B1，
所以H为△A1BC1的中心，即H为△A1BC1的垂心，D正确．
故选：BD.
10.【答案】ACD
【解析】解：由2sin(α+β)=3sin(α−β)，得2(sinαcsβ+csαsinβ)=3(sinαcsβ−csαsinβ)，
即sinαcsβ=5csαsinβ，由α,β为锐角，得csα≠0,csβ≠0，
对于AB，tanα=5tanβ，A正确，B错误；
对于C，由α+β=π4，得tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=6tanβ1−5tan2β=1，
即5tan2β+6tanβ−1=0，而tanβ>0，解得tanβ= 14−35，C正确；
对于D，tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=4tanβ1+5tan2β=45tanβ+1tanβ≤42 5=2 55，
当且仅当5tanβ=1tanβ，即tanβ= 55时取等号，D正确．
故选：ACD.
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由题意，a222=112，解得a2=4，故A正确；
对于B，当n≥2时，有ann2=1+122+132+⋯+1(n−1)2≥1，则有an≥n2，故B错误；
对于C，an+1(n+1)2=1+122+132+⋯+1n2=ann2+1n2=an+1n2，则得n2an+1=(n+1)2(an+1)，
即n2an+1−(n+1)2an=(n+1)2=n2+2n+1，故C正确；
对于D，考虑不等式两边取对数，若D项正确，
则必有ln(1+1a1)+ln(1+1a2)+⋯+ln(1+1an)11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n，
则得an>n(n−1)，所以1an0，则f′(x)=1x+1−1=−xx+10，即hln3a>0，得证.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：(1)证明：根据题意，A，Q为定点，E，F为动点．
如图，连接EF,BD,AC.
在平面AEQF中，不妨设EF交AQ于点G，
因为EF⊂平面PBD，所以G∈平面PBD，
因为AQ⊂平面PAC，所以G∈平面PAC，
因为平面PBD∩平面PAC=PH，所以点G也在PH上，
即AQ,PH,EF三线交于一点．
(2)(i)因为AB=2,PA= 11，所以AH= 2,PH= PA2−AH2= 11−2=3，
由已知四边形ABCD为正方形，易得AC⊥BD，
以H为坐标原点，分别以HB,HC,HP所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,− 2,0),B( 2,0,0),P(0,0,3),Q(0, 22,32)，
所以AQ=0,3 22,32,AB= 2, 2,0,AP=0, 2,3，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥AB,n⊥AP，即 2x+ 2y=0 2y+3z=0，
取x=−1，得y=1,z=− 23，
即平面PAB的一个法向量为n=−1,1,− 23，
所以csAQ,n=AQ⋅nAQn=3 22+32×− 23 3 222+322× 1+1+ 232= 3015，
所以直线AQ与平面PAB所成角的正弦值为 3015.
(ii)方法一：由(1)知AQ,PH,EF三线交于点G，
显然G是△PAC和△PDB的重心，
同时VP−AEQF=VP−AEF+VP−QEF=VA−PEF+VQ−PEF=13×32AH×S△PEF= 22S△PEF，
因此，只需要求△PEF的面积的取值范围，
如图，△PDB中，PD=PB= 11,DB=2 2，
由重心的性质知PG=13PD+13PB①，
又F,G,E三点共线，所以PG=mPF+(1−m)PE，
且PF→=λPD→,PE→=μPB→(0