湘豫名校2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷（含答案）

这是一份湘豫名校2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了本试卷共6页等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则（ ）
A. 13B. C. 5D.
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知样本数据7，8，6，10，6，5，9，12，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
4. 与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（ ）
A. 椭圆上B. 双曲线的一支上
C. 抛物线上D. 圆上
5. 在等差数列中，公差，若，则（ ）
A. 8B. 12
C. 16D. 18
6. 已知在上可导，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（ ）

A. B.
C. D.
8. 定义在上的函数的图象关于点对称，且有，当时，恒有，则（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在正方体中，对角线与平面交于点，则（ ）
A. 直线与所成的角为
B. 平面
C.
D. 为的垂心
10. 已知均为锐角，且，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 的最大值为
11. 已知数列满足，则（ ）
A.
B
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的图象的一条对称轴方程是___________．
13. 有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束．则最后只剩红球的概率为___________．
14. 已知是抛物线上一点，过点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点（异于点）．若直线恒过点，则___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求证：；
（2）求的值．
16. 某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机选取了50名同学做调查问卷，得到如下数据（其中睡眠质量得分满分为100分）：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联？
（2）从睡眠质量得分高于85分的20人中随机抽取2人，求这2人中“定期锻炼”的人数的分布列．
附：，其中．
独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：
17 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程．
（2）记，若有两个零点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
18. 如图，正四棱锥中，是棱的中点，是底面的中心．过作平面与棱分别交于不同的点（可以是端点）．
（1）求证：三线交于一点；
（2）若．
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求多面体的体积的取值范围．
19. 已知双曲线的渐近线的斜率为，且实轴长为2．
（1）求的标准方程；
（2）若与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹为曲线．
（i）求曲线的方程；
（ii）过点的直线与曲线交于两点，且点分别位于轴两侧，设在点处的切线交于点，求面积的最小值．
附：双曲线上任一点处的切线方程为；椭圆上任一点处的切线方程为.
高于85分
不高于85分
合计
定期锻炼
15
5
20
不定期锻炼
5
25
30
合计
20
30
50
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828