2025-2026学年上海市普陀区曹杨二中附属实验中学七年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年上海市普陀区曹杨二中附属实验中学七年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法正确的是( )
A. −x3y25的系数是−5B. x3y的次数是3次
C. 3x2−2x+4的常数项是4D. 2x3−3x2−1的二次项是3x2
2.下列运算正确的是( )
A. a5+a5=a10B. a5⋅a5=a10C. a5÷a5=0D. (a5)5=a10
3.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. 12a2b=3a⋅4abB. (x+3)(x−3)=x2−9
C. 4x2+8x−1=4x(x+2)−1D. 12ax−12ay=12a(x−y)
4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. 圆B. 等边三角形C. 平行四边形D. 正方形
5.下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2−4B. x2+2x+4C. x2−x+14D. x2+6x−9
6.已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是( )
A. am⋅an=am+nB. am⋅bn=(ab)m+nC. (ab)m=am⋅bmD. (am)n=amn
7.用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为a、b，a>b)拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，那么下列关系式中不正确的是( )
A. a+b=8
B. a−b=4
C. ab=12
D. a2+b2=64
8.如图，在三角形ABC中，∠BAC=90∘，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，将三角形ABC沿BC方向平移acm(ab.请你尝试根据以下二种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形.
(1)用1张A型正方形卡片，2张B型长方形卡片和1张C型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______；
(2)用4张A型正方形卡片，12张B型长方形卡片和______张 C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______；
(3)A、B、C三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片(每种卡片至少取1张)，取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？
28.(本小题8分)
如果一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，那么称这个数为“完全数”.例如，10=32+12，那么10是“完全数”.再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整数)，所以M也是“完全数”.
(1)请你再写一个小于10的“完全数”：______；
(2)请判断x2−4x+8(x是整数)是否是“完全数”，并说明理由；
(3)已知S=x2+4y2+2x−12y+k(x,y是整数，k是常数)，如果S是“完全数”，求k的值；
(4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：m⋅n也是“完全数”.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、−x3y25的系数是−15，故此选项不符合题意；
B、x3y的次数是4次，故此选项不符合题意；
C、3x2−2x+4的常数项是4，故此选项符合题意；
D、2x3−3x2−1的二次项是−3x2，故此选项不符合题意；
故选：C.
根据单项式的系数、次数的定义，多项式的项、次数的定义逐项分析判断即可．
本题考查了单项式，多项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义，多项式的项、次数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、a5+a5=2a5，故A不符合题意；
B、a5⋅a5=a10，故B符合题意；
C、a5÷a5=1，故C不符合题意；
D、(a5)5=a25，故D不符合题意；
故选：B.
根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A不是多项式的转化，故A不是因式分解；
B 是整式的乘法，故B不是因式分解；
C 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D提取公因式12a，故D是因式分解，
故选：D.
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4.【答案】B
【解析】解：A.是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意．
C.是中心对称图形，不能确定是否为轴对称图形(正方形、菱形、长方形为轴对称，其他的平行四边形不是轴对称)，不符合题意．
D.是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：B.
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180∘，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义求解．
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形可以找到对称中心，旋转180度后能与原图形重合，轴对称是能找到对称轴，然后能对称重合．
5.【答案】C
【解析】解：A、不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2−x+14=(x−12)2，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；
D、不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C.
根据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2逐项分析判断即可．
本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、am⋅an=am+n，表示同底数幂的乘法，故不符合题意；
B、am⋅bn≠(ab)m+n，故不符合题意；
C、(ab)m=am⋅bm表示积的乘方，故符合题意；
D、(am)n=amn，表示幂的乘方，故不符合题意．
故选：C.
根据积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此判断即可．
本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，
∴(a+b)2=64，(a−b)2=16，
又∵a>b>0，
∴a+b=8，a−b=4，
解得a=6，b=2，
∴ab=6×2=12，a2+b2=36+4=40，
因此选项D符合题意，
故选：D.
用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由平移性质可得，AD=BE=CF=acm，故①不正确；
阴影部分的周长为AD+EC+DE+AC=BE+EC+AB+AC=BC+AB+AC=5+3+4=12(cm)，故②正确；
a=2cm时，四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD=3+5+2+4+2=16(cm)，
△ABC的周长为：AB+AC+BC=3+4+5=12(cm)，
∴四边形ABFD的周长比三角形ABC的周长多4cm，故③不正确；
过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵S△ABC=12⋅AH⋅BC=12⋅AB⋅AC，
∴AH=AB⋅ACBC=3×45=125，
∵S四边形ABED=S四边形ABEG+S△ADG，
∴S四边形ABEG=125×BE−S△ADG，
∵S△ABC=S四边形ABEG+S△CEG，
∴S四边形ABEG=12×3×4−S△CEG，
∴125×BE−S△ADG=12×3×4−S△CEG，
即S△ADG−S△CEG=125a−12×3×4，
∴125a−12×3×4=4，
解得a=256，故④不正确，
故选：A.
根据平移变换的性质、以及面积转化一一判断即可．
本题考查了三角形的面积，平移的性质，利用面积转化进行解答是解题的关键．
9.【答案】5
【解析】解：由同类项的定义可知m=3，n−1=1，
解得m=3，n=2，
∴m+n=3+2=5.
故答案为：5.
根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
10.【答案】−4x3y3−y2+xy+2x2
【解析】解：2x2−y2+xy−4x3y3按字母y降幂排列：−4x3y3−y2+xy+2x2.
故答案为：−4x3y3−y2+xy+2x2.
先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答．
本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．
11.【答案】x2+2xy+y2
【解析】解：(−x−y)(−x−y)
=(x+y)2
=x2+2xy+y2，
故答案为：x2+2xy+y2.
利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】−32a3b2c
【解析】解：2ab2⋅(−34a2c)
=(−2×34)⋅(a⋅a2)⋅b2⋅c
=−32a3b2c，
故答案为：−32a3b2c.
单项式乘单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可．
本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13.【答案】(x−5)(x+3)
【解析】解：原式=(x−5)(x+3).
故答案为：(x−5)(x+3).
原式利用十字相乘法分解即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
14.【答案】−169
【解析】解：(34)2023×(−43)2025=[(34)2023×(−43)2023×(−43)2]
=−1×169
=−169，
故答案为：−169.
把原式变形后再根据积的乘方逆运算计算即可得到答案．
此题考查了积的乘方的逆用和同底数幂的逆用，熟练掌握该知识点是关键．
15.【答案】27
【解析】解：∵am=9，a2m−n=3，
∴a2m−n=(am)2÷an=92÷an=3，
∴an=27.
故答案为：27.
根据同底数幂的除法和幂的乘方法则计算即可．
本题考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：∵m−nkm2n=(m−2n)2，
∴m2+4n2−kmn=m2−4mn+4n2，
∴k=4，
故答案为：4.
根据定义的新运算进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】x2−3x−18=(x−6)(x+3)
【解析】解：∵甲同学因看错了一次项系数而将其分解为(x+2)(x−9)=x2−7x−18，
∴常数项为−18，
∵乙同学因看错了常数项而将其分解为(x+2)(x−5)=x2−3x−10，
∴一次项系数为−3；
原多项式=x2−3x−18，
x2−3x−18=(x−6)(x+3).
故答案为：x2−3x−18=(x−6)(x+3).
根据甲同学的答案得出常数项，乙同学的答案得出一次项系数，即可得出原多项式，然后再因式分解即可．
本题考查了因式分解，掌握因式分解中的十字相乘法是解题的关键．
18.【答案】40492
【解析】解：由题知，
令AC=a，
则Sn=a2+n2−12a(a−n)−12n2−12a(a+n)
=a2+n2−12a2+12an−12n2−12a2−12an
=12n2，
所以S2025−S2024=12×20252−12×20242=12×(2025+2024)×(2025−2024)=40492.
故答案为：40492.
令AC的长为a，进一步表示出Sn，据此进行计算即可．
本题主要考查了图形变化的规律及三角形的面积，能根据题意得出Sn=12n2是解题的关键．
19.【答案】−a6.
【解析】解：a2⋅a3⋅a+(−2a4)3÷4a6
=a6+(−8a12)÷4a6
=a6+(−2a6)
=−a6.
先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】4x2+3xy−y2.
【解析】解：(3x+y)(2x−y)−2x(x−2y)
=6x2−3xy+2xy−y2−2x2+4xy
=4x2+3xy−y2.
利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】164.
【解析】解：原式=20252−(2025−18)×(2025+18)
=20252−(20252−164)
=20252−20252+164
=164.
将原式变形为平方差公式的形式计算即可．
本题考查平方差公式，解题的关键是将原式变形为平方差公式的形式．
22.【答案】(x−y)(x−y+2)(x−y−2).
【解析】解：(x−y)3+4(y−x)
=(x−y)3−4(x−y)
=(x−y)[(x−y)2−4]
=(x−y)(x−y+2)(x−y−2).
先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
23.【答案】(x−1)(x+1)(y−1)(y+1).
【解析】解：x2y2−x2−y2+1
=x2(y2−1)−(y2−1)
=(x2−1)(y2−1)
=(x+1)(x−1)(y+1)(y−1).
先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了因式分解，掌握其相关知识点是解题的关键．
24.【答案】3a−132b，14.
【解析】解：原式=[(a2−6ab+9b2)−(a2−4b2)]÷(−2b)
=(a2−6ab+9b2−a2+4b2)÷(−2b)
=(−6ab+13b2)÷(−2b)
=3a−132b，
当a=13，b=−2时，原式=3×13−132×(−2)=14.
根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案．
本题考查的是整式的混合运算-化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
25.【答案】(1)如图，四边形A1B1C1D1即为所求； (2)四边形A2B2C2D2即为所求 (3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是轴对称图形，直线EF即为对称轴
【解析】解：(1)如图，四边形A1B1C1D1即为所求；
(2)四边形A2B2C2D2即为所求；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是轴对称图形，直线EF即为对称轴．
(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A1，B1，C1，D1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C，D，的对应点A2，B2，C2，D2即可；
(3)根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可．
本题考查作图-轴对称变换，中心对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换，中心对称变换的性质．
26.【答案】(1)17 (2)−16
【解析】解：(1)∵ab=2，a+b=5，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab
=25−8
=17；
(2)∵ab=2，a+b=5，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=25−4=21，
∴(a2−1)(b2−1)
=a2b2−a2−b2+1
=4−21+1
=−16.
(1)利用完全平方公式进行计算，即可解答；
(2)利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
27.【答案】a+b 9;2a+3b (3)16
【解析】解：(1)∵a2+2ab+b2=(a+b)2，∴大正方形的边长为a+b，
故答案为：a+b；
(2)∵12ab=2×2a×3b，
∴4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2，
∴9张C型正方形卡，大正方形的边长是2a+3b，
故答案为：9，2a+3b；
(3)设大正方形边长为ma+nb，
大正方形的面积为：(ma+nb)2=m2a2+2mnab+n2b2(m、n为正整数)，
∵三种不同型号的卡片各最多是9 张：
A：m2≤9，B：2mn≤9，C：n2≤9，
∵每种卡片至少取1 张，
要使面积最大，需让ma+nb最大(因a>b)，
逐一分析、的可能取值：当m=3时，m2=9，A 取满9 张，
代入2mn≤9，得n≤1.5，
故n=1，B 卡片数量：2×3×1=6，
C卡片数量：n2=1，
大正方形边长：3a+b，
总面积：(3a+b)2=9a2+6ab+b2，
此时A、B、C三种不同型号的卡片总数为：9+6+1=16张．
(1)利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长；
(2)运用完全平方公式得出C卡片的张数；
(3)设大正方形边长为ma+nb，分析m，n的取值．
此题主要考查了整式的混合运算，解题时注意利用数形结合和熟记完全平方公式是解题的关键．
28.【答案】8(答案不唯一) (2)是，理由如下：
∵x2−4x+8=x2−4x+4+4=(x−2)2+22，
∴x2−4x+8(x是整数)是“完全数” (3)10 (4)设m=a2+b2，n=c2+d2(a,b,c,d为整数)，
∴mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2d
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd−2abcd
=(ac+bd)2+(ad−bc)2，
∵a、b、c、d是整数，
∴ac，bd，ad，bc都是整数，
∴mn是完全数
【解析】(1)解：∵8=22+22，
∴8是完全数，
故答案为：8(答案不唯一)；
(2)解：是，理由如下：
∵x2−4x+8=x2−4x+4+4=(x−2)2+22，
∴x2−4x+8(x是整数)是“完全数”；
(3)解：k=10时，S为“完全数”，理由如下：
S=x2+4y2+2x−12y+k
=x2+2x+1+(4y2−12y+9)+k−10
=(x+1)2+(2y−3)2+k−10，
∵x、y是整数，
∴x+1，2y−3也是整数，
当k−10=0，即k=10，S是完美数；
(4)证明：设m=a2+b2，n=c2+d2(a,b,c,d为整数)，
∴mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd−2abcd
=(ac+bd)2+(ad−bc)2，
∵a、b、c、d是整数，
∴ac，bd，ad，bc都是整数，
∴mn是完全数．
(1)根据“完全数”的定义即可解答；
(2)根据“完全数”的定义即可解答；
(3)利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答；
(4)设m=a2+b2，n=c2+d2(a,b,c,d为整数)，再证明mn=(ac+bd)2+(ad−bc)2即可．
本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键．