北京市海淀外国语实验学校2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷 （原卷版）-A4

这是一份北京市海淀外国语实验学校2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷 （原卷版）-A4，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间120分钟 满分120分
一、选择题（共24分，每题3分）
1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ）
A 3，2B. 4，2C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 关于的一元二次方程用配方法正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线开口向下B. 当时，
C. 抛物线与x轴有两个交点D. 当时，y有最小值为10
5. 若直线经过第一、第三、第四象限，则抛物线大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（ ）
A. 255B. 127C. 126D. 63
8. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共24分，每题3分）
9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是______．
10. 若将一个二次函数图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为______
11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ________．
12. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°．
13. 幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是______．
14. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为______．
15. 已知抛物线（，为常数），，，是抛物线上三点，则由小到大依次排列为____________．
16. 如图，正方形的四个顶点坐标分别为．若抛物线与正方形有两个公共点，则的取值范围是________．

三、解答题（共72分，第17题8分，第18-21题，每题5分，第22-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
18. 已知二次函数.
（1）用配方法将化成的形式.并写出对称轴和顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个实数根小于2，求m取值范围．
20. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
（1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．
21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系，以为中心，将顺时针旋转，得到．

（1）请在网格内画出．
（2）写出点的坐标______，点的坐标______，点的坐标______．
22. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． 该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元?
23. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形）
（1）毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程）
证明：正方形①的面积________．
正方形②的面积________．
又正方形①与正方形②的边长相等
________________
（2）请你写出弦图（图2）的另一种证法：
24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围．
25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）．
（1）经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式．
（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
（1）直接写出抛物线G的顶点坐标；
（2）若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围；
（3）抛物线G对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
27. 如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，满足，与交于点F．
（1）求的度数；
（2）以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接．
①依题意补全图形；
②若，求k的值．
28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数．
（1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________；
（2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________；
（3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）．
①线段关于点的距离系数的最小值为________；
②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________．
2
3
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8
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