广东省揭阳市2026届高三上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省揭阳市2026届高三上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．已知集合满足，则（ ）
A．可能为B．可能为
C．可能为D．可能为
4．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
5．设动点满足，则点的轨迹的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．设一个简单几何体的棱数与面数之和为.用表示正棱台，表示正棱锥，则（ ）
A．
B．存在，使得
C．
D．存在，使得
7．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（ ）
A．10B．20C．30D．40
8．已知点，圆，点在圆上运动，点满足，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
二、多选题
9．已知双曲线，则（ ）
A．的虚轴长为4
B．的焦距为
C．的实轴长为4
D．的渐近线方程为
10．如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（ ）
A．平面平面
B．四面体外接球的表面积为
C．直线与直线相交
D．四面体与正三棱柱的公共部分的体积为
11．若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是上的完美函数.下列判断正确的是（ ）
A．是上的完美函数
B．若是上的完美函数，则也是上的完美函数
C．是上的完美函数
D．存在，使得是上的完美函数
三、填空题
12．若函数在上有最大值，则的最小正周期为 ，的取值范围为 .
13．已知函数且的图像经过两个定点，则 .
14．若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则 ，数列的前项和 .
四、解答题
15．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：
规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.
(1)求该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格的概率；
(2)设该嘉宾获得的公益基金总额为元，求的分布列及均值.
16．已知抛物线的焦点到直线的距离为.
(1)求的准线方程；
(2)若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：.
17．已知为锐角三角形，，且.
(1)求；
(2)求；
(3)若的面积为7，求外接圆的周长.
18．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求极值点的个数；
(3)当时，求函数零点的个数.
19．如图，平面将棱长为4的正方体分割成两部分，平面分别与棱交于点，且.

(1)证明：.
(2)若，求平面与平面的夹角的取值范围.
(3)已知均为非负整数，且的每一组取值对应一种分割方式，设几何体的体积为.
（i）证明：为定值；
（ii）若从所有不同的分割方式中随机选取一种分割方式，求的概率.
参考答案
1．C
【详解】，故实部为.
故选：C
2．A
【详解】由为等差数列，
，
．
故选：A．
3．C
【详解】由，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
综上，C对，A、B、D错.
故选：C
4．B
【详解】由函数，可得其定义域为，
且，
所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称，
当时，，且，所以，
故选：B.
5．A
【详解】由，
故点到点与点的距离之和为，
又，故点的轨迹为以、为焦点，
为长轴长的椭圆，则点的轨迹的离心率.
故选：A.
6．D
【详解】用表示正棱台，表示正棱锥，
，A选项错误；
，要使得，所以不符合题意，B选项错误；
，C选项错误；
存在，使得，D选项正确；
故选：D
7．B
【详解】令得，解得，
二项式的展开式的通项公式为且，
所以当时，；当时，，
所以二项式展开式的常数项为.
故选：B
8．D
【详解】设，，则，
由，则，所以，
故，化简得，
即点在圆上，该圆圆心为，半径，
则.

故选：D.
9．BCD
【详解】双曲线的焦点在轴上，且，即，
所以，则，所以的虚轴长为，A错误；
的焦距为，B正确；
的实轴长，C正确；
的渐近线方程为，D正确.
故选：BCD
10．AB
【详解】对于A，正中，因为为棱的中点，所以，.
因为正三棱柱中，侧棱平面，平面，所以.
平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.所以A正确.
对于B，四面体中，底面.
因为，所以是直角三角形，所以其外接圆半径为.
所以四面体的外接球半径.
所以四面体外接球的表面积为.所以B正确.
对于C，因为侧棱平面，底面，所以平行于.
因为平面，平面，所以平面.
所以平面平面.
若直线与直线相交，记交点为M，则，又，直线与直线有两个公共点，
所以重合，显然不成立，所以直线与直线不相交.所以C错误.
对于D，如图，记，连接，交于点H.
连接，交于点G，连接.
四面体与正三棱柱的公共部分为三棱台.
因为.
所以.
所以.
四面体与正三棱柱的公共部分的体积为.故D错误.
故选：AB.
11．ACD
【详解】对于A，令，则函数的定义域为，关于原点对称，
由，可知该函数为奇函数，对称中心为，
当时，，当且仅当时取到等号，
当时，，当且仅当时取到等号，
当时，，故最大值为，最小值为，两者的差为2，符合题意，故A正确；
对于B，若是上的完美函数，设其对称中心为，则的对称中心为，
因的最值的差为最值的差的2倍，若的最值的差为2，则最值的差为4，不满足定义，故B不正确；
对于C，关于原点对称，令，
由
，即函数为奇函数，对称中心为，
令，则，当时，显然，
当时，，故在上单调递减，
又在定义域上单调递增，故在上单调递减，
所以，
，
则
因，
所以，满足题意，故C正确；
对于D，因，则，
因为，所以，
当时，，所以在上单调递减，
故，
当时，，所以在上单调递增，
故，
故的最值差为，
又
，即函数关于点对称，
即存在满足题意，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】的最小正周期，
令，当时，，
由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值，
只需满足，所以的取值范围为.
故答案为：；.
13．
【详解】由，得，解得或，
当时，，所以过定点；
当时，，所以过定点；
所以.
故答案为：
14． 42
【详解】因为，，
曲线在点处的切线方程为，
又因为切线过点，
所以，可得，
所以，
所以，
.
故答案为：42；.
15．(1)
(2)分布列见解析，均值为元
【详解】（1）设“该嘉宾猜对歌曲A歌名”为事件A，设“该嘉宾猜对歌曲B歌名”为事件B，
则，
设“该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格”为事件E，
则.
（2）由题意的所有可能取值为，
所以，，
，，
所以的分布列为：
的均值为：(元).
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，则其到的距离为，
又，所以，
所以抛物线的准线方程为；
（2）由（1）得抛物线的标准方程为
由题可知，直线斜率不为0，所以设直线,
设，联立得
，
所以，
，
所以，
所以.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
即，解得（负数舍去），所以，
所以，又，
所以，
联立得，；
（2）由（1）可得，又，
所以，即，
所以，
所以，
解得或，
因为角为锐角，所以，则；
（3）由（1）（2）知，
，
由正弦定理得，所以，即，①
因为的面积为，所以，②
由①②得，设外接圆的半径为，
则由正弦定理得，
所以外接圆的周长为.
18．(1)单调减区间为，单调增区间为.
(2)2
(3)4
【详解】（1）当时，函数.
，且是增函数.
令，得；令，得；
所以的单调减区间为，单调增区间为.
（2）当时，函数，则.
令，则，且是增函数.
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
所以在和上各存在一个零点（分别记为）.
所以当时，；当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
故有两个极值点.
（3）函数零点的个数，可转化为方程的解的个数.
因为，所以可转化为的解的个数，即函数的图象与的交点的个数.
令函数.
则.
令，则.
显然，恒成立，所以在上为增函数.
又，，所以在上存在唯一零点，记作，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.
，所以.
所以的大致图象如下：
所以，函数的图象与有4个交点，即函数有4个零点.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）如图所示，过点作，过点作，可得，且，
在正方体中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又因为平面，所以平面的一个法向量为，
则，
因为，且，即，
所以，
又由，
又因为，所以，所以，
因为，可得，
所以平面与平面的夹角的取值范围.

（3）（i）如图所示，分别连接，
则几何体的体积为，
因为，
，
且，
可得，所以，为定值.
（ii）由（i）知，几何体的体积为，
因为，可得，
又因为均为非负整数，所以的组合为，共4种，
因为，且点点在线段，点在线段上，
则且，所以，所以的可能取值为，共4种，
所以满足的组合数为种，
由均为非负整数，且，
当时，有种；当时，有种；
当时，有种；当时，有种；
当时，有种；当时，有种；
当时，有种；
所以共有种分割方式，
所以满足的概率为.歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.9
0.7
0.2
获得的公益基金额/元
800
2000
4000
0
800
2800
6800