广东省揭阳市2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份广东省揭阳市2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 已知点 A2,0 ,圆 O， 已知双曲线 Ω等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 复数 z=2+i2−8 的实部为( )
A. -3 B. -4 C. -5 D. -6
【答案】 C
【详解】 z=2+i2−8=4+4i+i2−8=−5+4i ,故实部为 -5 .
故选: C
2. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a2+a11=1 ,则 S12= ( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】 A
【详解】由 an 为等差数列,
∴a1+a12=a2+a11=1 ,
S12=a1+a12×122=6.
故选: A .
3. 已知集合 M,N 满足 M∪N={0,1,4,6,7},M∩N=⌀,1∈M,4∈N ，则()
A. M 可能为 {1,4,6} B. N 可能为 {0,4,8} C. M 可能为 {1,6,7} D. N 可能为 {1,4,7}
【答案】 C
【详解】由 M∪N={0,1,4,6,7},M∩N=⌀,1∈M,4∈N ,
当 M={1} 时, N={0,4,6,7} ,当 M={0,1} 时, N={4,6,7} ,
当 M={1,6} 时, N={0,4,7} ,当 M={1,7} 时, N={0,4,6} ,
当 M={0,1,6} 时, N={4,7} ,当 M={0,1,7} 时, N={4,6} ,
当 M={1,6,7} 时, N={0,4} ,当 M={0,1,6,7} 时, N={4} ,
综上, C 对, A、B、D 错.
故选: C
4. 在同一平面直角坐标系中,函数 fx=x22x−2−x 与 gx=x 的大致图象为 ( )
【答案】 B
【详解】由函数 fx=x22x−2−x ,可得其定义域为 R ,
且 f−x=−x22−x−2x=−x22x−2−x=−fx ,
所以 fx 为奇函数,则函数 fx 的图象关于原点对称,
当 x=1 时, f1=12×21−2−1=32>1 ,且 g1=1 ,所以 f1>g1 ,
故选: B .
5. 设动点 Px,y 满足 x2+y+12+x2+y−12=10 ,则点 P 的轨迹的离心率为 ( )
A. 15 B. 55 C. 110 D. 510
【答案】 A
【详解】由 x2+y+12+x2+y−12=10 ,
故点 Px,y 到点 F10,−1 与点 F20,1 的距离之和为 10,
又 F1F2=2αΥ3 D. 存在 Ψn ,使得 αΨn=αΥ5
【答案】 D
【详解】用 Υn 表示正 nn≥3 棱台, Ψn 表示正 nn≥3 棱锥,
αΨ4=8+5=13,αΥ3=9+5=14,A 选项错误;
αΨn=2n+n+1=3n+1,αΥ6=18+8=26 ,要使得 αΨn=αΥ6 ,所以 n=253 不符合题意, B 选项错误;
αΨ4=8+5=13,αΥ3=9+5=14,C 选项错误;
存在 Ψ7 ,使得 αΨ7=2×7+7+1=22,αΥ5=15+7=22,D 选项正确;
故选: D
7. 已知 ax−xx+1x5 的展开式中各项系数之和为 64,则该展开式的常数项为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【答案】 B
【详解】令 x=1 得 a−11+15=64 ,解得 a=3 ,
二项式 x+1x5 的展开式的通项公式为 Tr+1=C5rx5−r1xr=C5rx5−2r,0≤r≤5 且 r∈N ,
所以当 r=2 时， T3=C52x ；当 r=3 时， T4=C53x−1 ，
所以二项式 ax−xx+1x5 展开式的常数项为 3x×C52x+−x×C53x−1=30−10=20 .
故选: B
8. 已知点 A2,0 ,圆 O:x2+y2=4 ,点 B 在圆 O 上运动,点 M 满足 AM=2MB ,动点 N 在直线 x=3 上，则 MN 的最小值为 ( )
A. 23 B. 2C. 43 D. 1
【答案】 D
【详解】设 Mx,y,Bm,n ,则 m2+n2=4 ,

由 AM=2MB ,则 x−2=2m−xy=2n−y ,所以 m=3x−22n=3y2 ,
故 3x−222+3y22=4 ,化简得 x−232+y2=169 ,
即点 M 在圆 x−232+y2=169 上,该圆圆心为 E23,0 ,半径 r=43 ,
则 MN≥NE−r=3−23−43=1 .
故选: D .
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 Ω:x24−y26=1 ，则()
A. Ω 的虚轴长为 4 B. Ω 的焦距为 210
C. Ω 的实轴长为 4 D. Ω 的渐近线方程为 y=±62x
【答案】 BCD
【详解】双曲线 Ω:x24−y26=1 的焦点在 x 轴上,且 a2=4,b2=6 ,即 a=2,b=6 , 所以 c2=a2+b2=10 ,则 c=10 ,所以 Ω 的虚轴长为 2b=26,A 错误;
Ω 的焦距为 2c=210,B 正确;
Ω 的实轴长 2a=4,C 正确;
Ω 的渐近线方程为 y=±bax=±62x,D 正确.
故选: BCD
10. 如图，正三棱柱 ABC−A1B1C1 的每条棱的长度均为 2,D 为棱 AB 的中点， DE⊥ 底面 ABC ，点 E 在平面 A1B1C1 的上方,且 DE=3 ,则( )

A. 平面 CDE⊥ 平面 ABB1A1
B. 四面体 ACDE 外接球的表面积为 13π
C. 直线 CE 与直线 A1B1 相交
D. 四面体 ACDE 与正三棱柱 ABC−A1B1C1 的公共部分的体积为 14327
【答案】 AB
【详解】对于 A ,正 △ABC 中,因为 D 为棱 AB 的中点,所以 CD⊥AB,CD=3 .
因为正三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥ 平面 ABC,AB⊂ 平面 ABC ,所以 AA1⊥CD .
AA1∩AB=A,AA1,AB⊂ 平面 ABB1A1 ,所以 CD⊥ 平面 ABB1A1 .
因为 CD⊂ 平面 CDE ,所以平面 CDE⊥ 平面 ABB1A1 . 所以 A 正确.
对于 B ,四面体 ACDE 中, DE⊥ 底面 ABC .
因为 CD⊥AB ，所以 △ADC 是直角三角形，所以其外接圆半径为 r=12AC=1 .
所以四面体 ACDE 的外接球半径 R=r2+DE22=132 .
所以四面体 ACDE 外接球的表面积为 4πR2=13π . 所以 B 正确.
对于 C ,因为侧棱 AA1⊥ 平面 ABC,DE⊥ 底面 ABC ,所以 AA1 平行于 DE .
因为 D∈ 平面 ABB1A1,AA1⊂ 平面 ABB1A1 ,所以 E∈ 平面 ABB1A1 .
所以平面 ABB1A1∩ 平面 CDE=DE .
若直线 CE 与直线 A1B1 相交,记交点为 M ,则 M∈DE ,又 CE∩DE=E ,直线 CE 与直线 DE 有两个公共点,
所以重合,显然不成立,所以直线 CE 与直线 A1B1 不相交. 所以 C 错误.
对于 D ,如图,记 DE∩A1B1=F ,连接 C1F ,交 CE 于点 H .
连接 AE ,交 A1B1 于点 G ,连接 GH .
四面体 ACDE 与正三棱柱 ABC−A1B1C1 的公共部分为三棱台 FGH−DAC .
因为 EFDE=DE−DFDE=13 .
所以 VE−HGH=127VE−DAC=127×13×12×AD×DC×DE=354 .
所以 VFGH−DAC=2627VE−DAC=13327 .
四面体 ACDE 与正三棱柱 ABC−A1B1C1 的公共部分的体积为 13327 . 故 D 错误.

故选: AB .
11. 若定义在 D 上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于 2，则称该函数是 D 上的完美函数. 下列判断正确的是( )
A. y=2xx2+1 是 R 上的完美函数
B. 若 fx 是 D 上的完美函数,则 gx=2fx−1 也是 D 上的完美函数
C. y=lgx2+1−x 是 −49,49 上的完美函数
D. 存在 a∈R ,使得 hx=ax3−3x2+2a≠0 是 0,2 上的完美函数
【答案】 ACD
【详解】对于 A ,令 fx=2xx2+1 ,则函数的定义域为 R ,关于原点对称,
由 f−x=2−x−x2+1=−2xx2+1=−fx ,可知该函数为奇函数,对称中心为 0,0 ,
当 x>0 时, y=2x+1x≤22x⋅1x=1 ,当且仅当 x=1 时取到等号,
当 x0 ,得 x>ln4 ; 令 f′x0 .
令 gx=f′x ,则 g′x=ex−8x>0 ,且 g′x 是增函数.
令 g′x>0 ,得 x>ln8 ; 令 f′x0 ,所以可转化为 fxx=1 的解的个数,即函数 y=fxx 的图象与 y=1 的交点的个数.
令函数 hx=fxx=exx−4x12x>0 .
则 h′x=exx−1x2−2xx>0 .
令 mx=h′x ,则 m′x=exx−12+1x3+x−32x>0 .
显然, m′x>0 恒成立,所以 h′x=mx 在 0,+∞ 上为增函数.
又 h′1=−20 ,所以 h′x 在 1,2 上存在唯一零点,记作 t ,则 et=2ttt−1 .
当 x∈0,t 时, h′x0 .
所以 hx 在 0,t 上单调递减,在 t,+∞ 上单调递增.
所以 hx 在 x=t 处取得极小值,即最小值,最小值为 ht=2tt−1−4t .
h1=e−4