黑龙江省哈尔滨市第九中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出不等式和，再由交集的定义可得出集合.
【详解】，，
因此，.
故选D.
【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知命题，命题，则（ ）
A. 和均为真命题B. 和均为真命题
C. 和均为真命题D. 和均为真命题
【答案】B
【解析】
【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断.
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题.
综上，和均为真命题.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到对任意恒成立，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】因为函数的定义域为，
所以对任意恒成立，
若，即时，则不等式可化为，解得，不满足题意；
若，即时，只需，解得.
故选：B.
4. 下列各式错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于，由指数函数的性质可知，
当时，在上单调递减，所以，，B说法错误，D说法正确；
当时，在上单调递增，所以，，AC说法正确；
故选：B
5. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 或
C. 是奇函数D. 是偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误.
【详解】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B；
所以，定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
6. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】满足，但不满足，因此不充分，但时，一定有，即成立，必要的，因此题中应是必要不充分条件．
故选：B．
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性定义可排除选项C，D；结合指数函数的性质可得：当时，，即可排除选项B，进而求解.
【详解】因为，所以为奇函数，故选项C，D错误；
当时，，故选项B错误，选项A正确.
故选：A.
8. 已知，为常数，若存在互不相同的三个实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析与时函数的性质，再根据存在互不相同的三个实数，，满足确定的取值范围，最后根据函数性质求出的取值范围.
【详解】当时，，将其化为顶点式：
可知该函数图象开口向下，对称轴为.
当时，，根据对勾函数性质，知道函数在上单调递增，.
因为存在互不相同的三个实数，，满足，结合函数图象可知.
设，由二次函数的对称性可知，关于对称轴对称，则.
由，，即.
解不等式，即，，因为，所以.
解不等式，即，，解得，结合，所以.
则，因为，所以，即的取值范围是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分.
9. 若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C.
【详解】对于A，取，但，故A错误；
对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，取，则，故D错误.
故选：BC.
10. 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最小值1B. 有最小值2
C. 有最大值D. 有最大值8
【答案】AC
【解析】
【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用常用不等式即可判断D.
【详解】因为正实数满足，所以
，当且仅当时等号成立，A正确；
，当且仅当时等号成立，B错误；
，，当且仅当时等号成立，C正确；
，当且仅当时等号成立，D错误．
故选：AC．
11. 设函数，且，下列说法正确的是（ ）
A. 函数有最小值0，无最大值
B. 函数与直线的图像有两个不同的公共点
C. 若，则
D. 若，则取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意画出图像，由图像可知的最小值为0，无最大值，且图像与只有一个公共点，从而可对选项A,B进行判断，，且可知在图像中如图，，且，，且，由此可对C选项进行判断，由图可知，，且，，从而由得，则，再由，可求得其范围
【详解】解：由题意画出图像.
A项，当时，，无最大值，所以A正确
B项，与只有一个公共点，所以B错误
C项， ，且可知，在图像中如图，，且，，且，则，则，所以，所以，所以C正确
对于D，由图可知，，且，，
则可写，
，
，
所以，
所以，
因为，所以，
所以
所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数的图像和性质的应用，解题的关键是准确的画出函数的图像，利用数形结合的思想解题，属于中档题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为______
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式列出不等式求解.
【详解】由函数的解析式可得，即，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13. 若函数满足：是偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为__________________
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的性质，结合图象平移的性质得到，利用平方法进行求解即可.
【详解】设，则是偶函数，
且函数的图象向左平移1个单位得到的图象，即的图象，
又在上单调递减，所以在上单调递减，
因为，则，
所以，故，
则，所以，
整理得，解得或，
所以的解集为.
故答案为：
14. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由在，上单调递减，可求，，对任意，，总存在，，使得成立，可得，结合二次函数的性质可求
【详解】在，上先减后增
故当时，函数有最小值（1），当时，函数有最大值（3）
故，，
在，上单调递减，故，，
对任意，，总存，，使得成立，
，
，
解可得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本题有5道题，总共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用根式与指数幂的运算性质计算；
（2）由两边平方可得，再平方可得，代入计算即可.
【详解】（1）原式
（2）∵，∴，即，
∴，∴，即，∴，
∴.
16. 已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2
（1）求的最小值；
（2）求a2＋4b2＋5ab的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)利用转化为用基本不等式求解；
(2)，根据a＋2b＝2利用基本不等式求出ab范围即可.
【小问1详解】
∵，∴，
当且仅当，即时，等号成立.
∴的最小值为；
【小问2详解】
∵，
又，∴，故，
当且仅当，即时，等号成立.
故取得最大值.
17. 已知函数满足，其中，且.
（1）若，求函数的定义域；
（2）讨论的值域.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式求解即可；
（2）对分类讨论，利用指数函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
当时，，则，
∴，则，即，
解得，
所以函数的定义域为
【小问2详解】
∵，又，
当时，在上单调递增，所以，故值域为；
当时，在上单调递减，所以，故值域为.
综上，当时，的值域为；当时，的值域为.
18. 定义在上的函数满足，且函数在上是增函数．
（1）求，并证明函数是偶函数；
（2）若，解不等式．
【答案】（1），证明见解析；（2）或或或.
【解析】
【分析】（1）先计算，再令可得，令即可得出；
（2）计算，故而不等式等价于，根据的单调性和奇偶性列不等式得出解集．
【详解】解：（1）令，则，
再令可得，
∴．
令可得，
∴是偶函数．
（2）∵，∴，
又，
∴，
∵是偶函数，在上单调递增，
∴且，
解得或或或．
所以不等式的解集为或或或
【点睛】本题考查了抽象函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．
19. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）：
（2）对任意，不等式恒成立时，求的取值范围：
（3）设函数，在上的最小值为，求的值.
【答案】（1）函数在上单调递增；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，求出，并利用奇函数的定义验证，从而得出，根据指数函数的单调性判断在上的单调性即可；
（2）根据函数奇偶性和单调性可得，不等式对任意恒成立，根据根的判别式求解即可；
（3）令，得到在上的最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
∵函数是定义在上的奇函数，
∴，即，解得，∴，
∵，∴是奇函数.
∴，.
∵均为上的增函数，
∴在上单调递增，
故函数在上单调递增.
【小问2详解】
∵函数在上单调递增，且为奇函数，则，
∴等价于.
即，即，
即对任意恒成立，
∴，解得，
∴的取值范围是.
【小问3详解】
.
令，则，
因为在上为增函数，且，所以，
因为在上的最小值为，
所以在上的最小值为，
因为的对称轴为，
所以当时，，解得或（舍去），
当时，，解得，不合题意.
综上可知：.