黑龙江省哈尔滨市第九中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的方程为，则其倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. 1C. D.
4. 过点作圆：的切线，则的方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
5. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）

A. B. C. D.
6. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A B.
C D.
7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ）
A. 曲线可以是圆B. 若，则曲线为椭圆
C. 曲线可以表示抛物线D. 若曲线为双曲线，则或
10. 已知圆与圆交于两点，则（ ）
A. 圆与圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C.
D. 线段的垂直平分线的方程为
11. 双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则双曲线的离心率为
B. 若双曲线的渐近线方程为，则
C. 若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则
D. 若点为双曲线上一点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线与直线互相垂直，则值为___________．
13. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则__________.
14. 已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为___________；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为___________．
四、解答题
15. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
16. 已知直线经过点．
（1）指出直线斜率为何值时，坐标原点到直线的距离最大？并求出的方程；
（2）若与圆相交于两点，，求的一般式方程．
17. 已知点在抛物线上．
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于M、N两点，求弦长；
（3）过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值．
18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为．
（1）求出椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点．
（i）当线段的中点坐标为时，求直线的方程．
（ii）若直线分别与轴交于两点，且，试探究此时直线否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．
19. 已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点．
（1）若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围；
（2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）；
（3）若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围．