安徽省合肥市长丰北部联盟校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则的子集个数为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】将代入，即可得出中的元素.然后逐个列举得出的子集，即可得出答案.
【详解】将代入可得，，解得.
又，所以可取.
所以，，共有3个元素.
所以，的子集有，，，，，，，，共个.
故选：A.
2. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式可得，
因为与没有包含关系，与没有包含关系，
，
所以，使不等式成立的一个充分不必要条件是.
故选：D.
3. 已知函数，则（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，然后求得.
【详解】，
.
故选：B
4. 下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数．其中正确命题的个数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】①举一个例子y=-，当x＜0时，函数为增函数，当x＞0时，函数为增函数，但是在x≠0时，函数不单调，所以错误；
②由若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0且a＞0，或者b2-8a＜0且a＜0，或者a=b=0；所以此命题错；
③当x≥0时，y=x2-2x-3，为对称轴为直线x=1的开口向上的抛物线，所以[1，+∞）为函数的增区间；当x＜0时，y=x2+2x-3，为对称轴为直线x=-1的开口向上的抛物线，所以[-1，0]为增区间，综上，y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）和[-1，0]，故③不正确；
④因为y=1+x和y=
=|1+x|表示的函数的解析式不同，故命题不正确．
故答案为A
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C.
【详解】记，函数的定义域是，
，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误；
当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误．
故选：B.
6. 二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出在指定区间上单调递增的的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】二次函数在区间上单调递增，则，解得，
显然选项ABD中条件都不能推出，而真包含于，
所以所求的一个充分不必要条件为.
故选：C
7. 已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式变形为，进而可得，解该不等式可得，继而可得整数解为，根据即可求解.
【详解】由，得，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有，
由不等式可得，
又由于，故，解得，
由于，且时，满足不等式，
故该不等式的4个整数解为，
因此，得且，
结合，因此且，解得，
故选：A.
8. 已知函数，则的最小值是（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】令，则，且，
所以，
所以，
当时，.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数为奇函数
C. 函数（且）的图像恒过定点（2，1）
D. 函数的递减区间是
【答案】BC
【解析】
【分析】运用含有一个量词的命题的否定书写方法可分析A项，运用奇函数的定义分析B项，运用对数函数恒过定点分析C项，运用多个单调区间的书写方法可分析D项.
【详解】对于选项A，命题“”的否定是“”，故A项错误；
对于选项B，因为定义域为R，，所以为奇函数，故B项正确；
对于选项C，因为，所以令，得，代入函数得，所以函数恒过定点，故C项正确；
对于选项D，由多个单调区间用“，”隔开或“和”隔开，故D项错误.
故选：BC.
10. 下列说法中正确的是（ ）．
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 与是同一个函数
C. 函数满足，若，则实数
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据全称量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，根据同一函数的定义判断即可；对于C，利用换元法求解判断即可；对于D，根据抽象函数的定义域求解判断即可.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，函数的定义域为，
的定义域为，两者定义域不同，
所以不是同一个函数，故B错误；
对于C，由，令，则，
所以，解得，故C正确；
对于D，由函数的定义域为，则，即，
所以函数的定义域为，故D正确.
故选：ACD
11. 已知a > 0，b > 0，3a + b = 1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
当且仅当时等号成立，A选项正确.
B选项，结合A选项的分析可知：，
当且仅当时等号成立，B选项错误.
C选项，，
当且仅当时等号成立，C选项正确.
D选项，，
当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再结合二次函数的性质求出值域即可.
【详解】由得，所以函数的定义域为：，
，
因为，所以，
即
故答案：
13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题通过偶函数的性质求出时的函数解析式，再解一元二次不等式得到解集.
【详解】设，则，由时，得.
因是偶函数，故.
解不等式（），因式分解得，
结合，得，即.
故答案为：
14. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数单调性，列出不等式求解即得.
【详解】函数在上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合 或.
（1）若 ，求；
（2）若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的补集和交集的定义可得结果；
（2）利用充分条件的定义，结合子集的定义得出关于a的不等式组，解出即可.
【小问1详解】
若 ，则或，
所以或.
【小问2详解】
“” 是 “” 的充分条件
①当时，，即时，满足题意；
②当时，依题意有或，解得：，
综上，的取值范围是.
16. 某公司生产一类新能源汽车零件，且该零件的年产量不超过35万件，每万件零件的计划售价为16万元.生产此类零件的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件零件需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的汽车零件全部售罄.
（1）求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）
（2）求该公司获得的年利润的最大值，并求此时该零件的年产量.
【答案】（1）
（2）该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元.
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
根据题意得，
当时，，
当时，，
故.
【小问2详解】
当时，，且当时，单调递增，
当时，单调递减，此时.
当时，，当且仅当时，等号成立.
因为，故当时，取得最大值24，
所以该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元.
17. （1）设，试用a，b分别表示；
（2）已知，求.
【答案】（1），；（2）322.
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算，采用解方程组的方法，即可求得答案;
（2）利用换元法，求得 的解析式，即可求得答案.
【详解】（1）由,
得 ;
.
（2）令，两边平方得，得，
上式两边平方得，
故 ,
即，
故.
18. 已知函数且经过两点．
（1）求函数的解析式；
（2）利用单调性的定义证明：在上单调递增；
（3）当是定义在上函数时，解不等式．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）代入，得到方程组，求出，得到解析式；
（2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；
（3）判断出函数的奇偶性，结合单调性和定义域得到不等式组，求出不等式解集.
【小问1详解】
将代入解析式得，
解得，故；
【小问2详解】
证明：任取，
则
，
因为，所以，
故，
故，所以在上单调递增；
【小问3详解】
，
又定义域为，故为奇函数，
由（2）知，在上单调递增，
故，
故，解得，
故不等式解集为.
19. 已知函数，．
（1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）设，求关于x的不等式的解集；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意得对任意恒成立，结合判别式即可求得答案；
（2）由题意可得的表达式，利用分类讨论的方法，即可求得不等式解集；
（3）由题意可得，结合，设，则，由此求出，即可得答案.
【小问1详解】
由题意得对任意，恒成立，
得对任意恒成立，
即，解得，即．
【小问2详解】
因为，
令，则，，
①当时，，则；
②当时，若，则或；
③当时，若，则或，
综上，若，的解集为；
若，的解集为；
若，的解集为．
【小问3详解】
由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故．