河北省六校联合体2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

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六校联合体 2025-2026 学年度第⼀ 学期期中考试试卷
【解析】对于A，易知? = cs?的定义域为R，且满⾜cs( ―?) = cs?，因此? = cs?为偶函数， 但在(0， + ∞)上不是严格减函数，即A 错误；
1111
⾼⼀ 数学
对于B，函数? = ?3的定义域为R，但( ―?)3 = ―?3，因此? = ?3为奇函数，所以B 错误；
对于C，函数? = e―| ?| 的定义域为R，满⾜e―| ―?| = e―| ?| ，因此? = e―| ?| 为偶函数，
1
e
?
⼀ 选择题
当? ∈(0， + ∞)时，? = e―| ?| = e―? =
为严格减函数，即C 正确；
、
下列各选项正确的是()
A．0 ∉ ∅B．∅= {0}C．∅⊆ {0}D．0 = {0}
【答案】C
对于D，? = ln(? + 1 )的定义域为( ―1 ， + ∞)，显然定义域不关于原点对称，不为偶函数，即D
错误。故选：C
【解析】对于A，空集不含任何元素，故0 ∉ ∅，故A 错误；对于B，空集是任何集合的⼦集，⽽
62
集合{0}含有元素0，故B 错误，C 正确；对于D，0 ∈{0}，故D 错误；故选：C
已知命题 p :  x  0 ， x2 3x  2≥ 0 则()
．如图，已知⼆次函数 y  ax  bx  c(a  0) 的图象顶点在第⼀象限，且经过 A（-1，0）、
B（0,1）两个点。则下列说法正确的是：()
①??? < 0；② ―1 < ? < 0；③0 < ? < 1 ；④0 < ? + ? + ? < 2。
A．p 是真命题，  p : x  0, x2  3x  2  0
C．p 是假命题，  p : x  0, x2  3x  2  0
B．p 是真命题，  p : x  0, x2  3x  2≤ 0
D．p 是假命题，  p : x  0, x2  3x  2≤ 0
【答案】C
【解析】由?2 ―3? + 2⩾0 ，得?⩽1 或?⩾2 ，则当1 < ? < 2时，?2 ―3? + 2 < 0，故?是假命题，¬ ?：
∃? > 0，?2 ―3? + 2 < 0。故选：C
已知集合 A {x | x  2且x  Z}， B {x | x2  1}，则? ∩ ? = ()
4
A．{ ―1 ，1 }B．{ ―1 ，0，1 }C．{0} D．{ ―2， ―1 ，0，1 ，2}
【答案】A
A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【解析】由图象可知⼆次函数图象开⼝向下，则? < 0，图象与?轴交点为?( 0， 1 )，所以?
= 1 > 0，
顶点在第⼀象限，对称轴? = ― ? > 0，⼜? < 0，所以? > 0，所以??? < 0，①说法正确；
2?
因为图象经过?( ―1 ， 0 )、?( 0， 1 )两个点，所以 ? ―? + ? = 0，解得? = ? + 1 。
【解析】 ∵? = {?∣|?| < 2且? ∈?} = { ―1 ，0，1 }，? = ?| ?2 >
= ?| ? > 1 或? < ―1 。
? = 1
1
4
22
∴ ? ∩ ? = {1 ， ―1 }。故选：A
4．已知全集? = ?，集合? = { ?| lg2?⩽2 }，则 U A  ()
A．(4， + ∞)B．[4， + ∞)C．( ―∞，0) ∪ [4， + ∞) D．( ―∞，0] ∪ (4，
+ ∞)
【答案】D
【解析】由lg2?⩽2 ，即lg2?⩽ lg24，所以0 < ?⩽4 ， 所以? = { ?| lg2?⩽2 } = {?|0 < ?⩽4 }，⼜ 全集? = ?，所以∁?? = ( ―∞，0] ∪ (4， + ∞)。故选：D
5．下列函数中，既是偶函数，⼜是( 0， + ∞)上的严格减函数的是()
因为? < 0，? > 0，所以 ―1 < ? < 0，②说法正确；
由 ―1 < ? < 0得0 < ? + 1 < 1 ，即0 < ? < 1 ，③说法正确；因为图象顶点在第⼀象限，且经过?( ―1 ， 0 )，
由⼆次函数的对称性可知与?轴另⼀个交点的横坐标在(1 ， + ∞)上，所以当? = 1 时，? + ? + ? > 0，
⼜ ―1 < ? < 0，0 < ? < 1 ，? = 1 ，所以? + ? + ? < 2，即0 < ? + ? + ? < 2，④说法正确；综上①②③④正确；
故选：D。
7．如果?，?为实数，且?2025+ ?2025= 0，那么⼀定有()
y  cs x
【答案】C
1
y  x3
y
 e x
y  ln 1 x
A．( | ?| + | ?| )2025= 0B．(? ―?)2025= 0C．(?·?)2025= 0D．(? + ?)2025= 0
【答案】D
第 1 ⻚（共 8 ⻚）第 2 ⻚（共 8 ⻚）
【解析】由?2025+ ?2025= 0，可得?2025= ―?2025= ( ―?)2025，
C．若?? < 0，则? + ?的最⼤值为 ―2
? ?
11
则( ?2025 )2025 = ( ―?)2025 2025，即? = ―?，2 1
即? + ? = 0，故(? + ?)2025= 0，故D 符合题意；
对于A，若取? = 1 ，? = ―1 ，则( | ?| + | ?| )2025= 22025≠ 0，故A 不合题意；对于B，若取? = 1 ，? = ―1 ，则(? ―?)2025= 22025≠ 0，故B 不合题意；
D．若正实数?，?满⾜? + 2? = 1 ，则? + ?的最⼩值为8
【答案】C，D
【解析】当? < 0时，A 显然不成⽴；
对于C，若取? = 1 ，? = ―1 ，则(?·?)
2025
= ( ―1 )
2025
= ―1 ≠ 0，故C 不合题意。
令? = ?2 + 2，则?⩾ 2，
故选：D。
? =
?2 + 3
=
+1= ? + 1 ，结合对勾函数单调性可知，当? = 2时，取得最⼩值，
?2 + 2
?2 + 2
3 2
2
?
?2 + 2
1 2
若lg4 x lg4 y  2 ，则 x  y 的最⼩值为()
B 错误；
若?? < 0，则? + ? = ―[(
??
― ) + ( ― )]⩽ ―2
= ―2，
―? · ―?
??
A． 2
B．1
C．3
D．1
? ?
?
??
2842
当且仅当―? = ―即? = ―?时取等号，此时取得最⼤值 ―2，C 正确；
??
4? ·?
? ?
【答案】A
正实数??满⾜? + 2? = 1 ，则2 1
2? + 4? + ? + 2? = 4 + 4? + ? 4 + 2
= 8，
2
??
【解析】【详解】lg4? + lg4? = 2，∴ ? > 0，? > 0，lg4(??) = 2，?? = 16 。
? + ? =??
??⩾
法⼀：∴ 1 + 2 2
= 2
= 2。当且仅当1 = 2
，上式等号成⽴。
当且仅当4? = ?
? + 2? = 1 ，即? = 1 ，? = 1 时取等号，此时2 + 1 的最⼩值为8，D 正确。
? ?⩾
时
2
16
2? ?
??且

42? ?
⼜?? = 16 ，可得? = 2 2，? = 4 2时，1 + 2
最⼩值为 2。故选：A。
故选：CD。
1 2 ?2 2
的
? ?2
?2
11．下列命题中，正确的是( )
法⼆：∴ ? + ? = 16 + ?⩾ 2 。当且仅当16 = ?时，上式等号成⽴。
A．幂函数? = ?―1 是奇函数B．幂函数? = ?2是偶函数
⼜?? = 16 ，可得? = 2 2，? = 4 2时，1 + 2 最⼩值为 2。故选：A。
⼆、多选题
下列说法正确的是()
的
? ?2
C．幂函数? = ?既是奇函数⼜是偶函数D．幂函数? =
【答案】A，B，D
1
?2既不是奇函数，⼜不是偶函数
由1 ，2，3组成的集合可表示为{1 ，2，3}或{3，2，1 }
【解析】由? = ?―1 的定义域为( ―∞，0) ∪ (0， + ∞)，且( ―?)―1 = 1
―?
= ―1 = ―?―1 ，即为奇函
?
∅与{0}是同⼀个集合
集合 ?|? = ?2 ―1 与集合 ?|? = ?2 ―1 是同⼀个集合
集合 ?|?2 + 5? + 6 = 0 与集合{ ―2， ―3}是同⼀个集合
【答案】A，D
【解析】对于A，根据集合元素的⽆序性可得{1 ，2，3}、{3，2，1 }表示同⼀集合，元素有1 ，2， 3，故A 正确；对于B，{0}不是空集，故B 错误；
对于C， ?|? = ?2 ―1 = R，⽽ ?|? = ?2 ―1 = {?|?⩾ ―1 }，故两个集合不是同⼀个集合，故C 错误。
对于D， ?|?2 + 5? + 6 = 0 = { ―2， ―3}，故D 正确。故选：AD。
下列选项正确的是()
数，所以A 正确；
由? = ?2的定义域为?，且( ―?)2 = ?2，即为偶函数，所以B 正确；
由? = ?的定义域为?，且―? = ?不恒成⽴，不是偶函数，所以C 不正确；
1
由? = ?2的定义域为[0， + ∞)，显然定义域不关于原点对称，即为⾮奇⾮偶函数，所以D 正确。故选：ABD
、
三 填空题
12．已知lg32 = ?，则lg296 = 。(⽤?的代数式表示)
【答案】5 + 1
?
3
3
【解析】因为lg32 = ?，
A．若? ≠ 0，则? + 4的最⼩值为4
lg 96
lg 32 + lg 3
5lg 2 + 1
5 + 11
3
?所以lg296 =
2
B
lg32 =
3
lg32
= lg32
= ?
?
= 5 + ，
?
? + 3
?2 + 2
．若? ∈R，则
的最⼩值是2
故答案为：5 + 1
?
第 3 ⻚（共 8 ⻚）第 4 ⻚（共 8 ⻚）
13．已知?(?) = ??5 ―??3 + ?? + 1 + 1 ，且?( ―3) = ―5，则?(3) = 。
?
【答案】7
【解析】?(?) = ??5 ―??3 + ?? + 1 + 1 ，
?
1
?
1
?
则?( ―?) = ?( ―?)5 ―?( ―?)3 + ?( ―?) + ―+ 1 = ― ??5 ―??3 + ?? ++ 1则有?( ―?) + ?(?) = 2，若?( ―3) = ―5，则?(3) = 2 ―( ―5) = 7。故答案为：7。
即不等式?2 + 3? + 10 < 0的解集为∅；
【⼩问 2】
将不等式?2 ―2?⩽15 移项得?2 ―2? ―15⩽0 ，其对应的⼀元⼆次⽅程为?2 ―2? ―15 = 0，因式分解得(? ―5)(? + 3) = 0，解得? = 5或? = ―3，
⼆次函数? = ?2 ―2? ―15 为开⼝向上的⼆次函数，且与?轴交于( ―3，0)和(5，0)，所以不等式?2 ―2?⩽15 的解集为{?| ―3⩽ ?⩽5 }；
【⼩问 3】
14．若? + 1 > 0，则 1
? + 1
+ ? 的最⼩值为。
4
将不等式
? ―4
⩾2 移项得
? ―1
? ―4
? ―1
―2⩾0 ，通分后化简可得
―? ―2
⩾0 ，即
? ―1
? + 2
⩽0 ，
? ―1
【答案】3或0。75
4
等价于(? + 2)(? ―1 )⩽0 且? ―1 ≠ 0，
⼀元⼆次⽅程(? + 2)(? ―1 ) = 0的解为? = ―2或? = 1 ，
【解析】 1
+ ? = 1
+ ? + 1 ―1 ⩾21

·? + 1 ―1 = 3，当且仅当 1
= ? + 1 ，即? = 1 时取等号。
? + 1
故答案为：3
4
四、解答题
4 ? + 144
? + 144 4
? + 14
⼆次函数? = (? + 2)(? ―1 )为开⼝向上的⼆次函数，且与?轴交于( ―2，0)和(1 ，0)，
所以不等式(? + 2)(? ―1 )⩽0 的解集为{?| ―2⩽ ?⩽1 }，
⼜? ―1 ≠ 0，解得? ≠ 1 ，
所以不等式? ―4 2 的解集为{ | ―2
< 1 }。
15．已知集合? = {?∣0 < ? ―2 < 3}，? = {?|| ? ―5∣ < 2}，? = {?∣? > 4}。
? ―1 ⩾
?⩽ ?
求? ∩ ?；
求? ∪ (? ∩ ?)，( ∁?? ) ∪ ( ∁?? )。
【答案】⻅解析
【解析】【⼩问 1 详解】? = {?∣0 < ? ―2 < 3} = {?∣2 < ? < 5}，
? = {?∣ ―2 < ? ―5 < 2} = {?∣3 < ? < 7}，所以? ∩ ? = {?∣3 < ? < 5}。
【⼩问 2 详解】因为? = {?∣3 < ? < 7}，? = {?∣? > 4}，所以? ∩ ? = {?∣4 < ? < 7}，⼜? = {?∣2 < ? < 5}，
所以? ∪ (? ∩ ?) = {?|2 < ? < 7}。由(1)知? ∩ ? = {?|3 < ? < 5}，
所以( ∁?? ) ∪ ( ∁?? ) = ∁?(? ∩ ?) = {?|?⩽3 或?⩾5} 。
16．求下列不等式的解集：
(1)?2 + 3? + 10 < 0
(2)?2 ―2?⩽15
⩾2
? ―4
17．已知函数?(?) = 2?2 ―2?? + 2 ―?2，?(?) = ?2 + 3? ―?2 ―4( ? ∈? )。
(1)当? = 1 时，解不等式?(?) > ?(?)；
(2)若对任意? > 0，都有?(?) > ?(?)成⽴，求实数?的取值范围；
(3)若对∀?1 ∈[0，1 ]，∃?2 ∈[0，1 ]，使得不等式?( ?1 ) > ?( ?2 )成⽴，求实数?的取值范围。
【答案】⻅解析
【解析】【⼩问 1】
当? = 1 时，?(?) > ?(?)即2?2 ―2? + 1 > ?2 + 3? ―5，
所以?2 ―5? + 6 > 0，所以(? ―3)( ? ―2) > 0，所以? > 3或? < 2，所以不等式?(?) > ?(?)的解集为{ ?|? > 3或? < 2}。
【⼩问 2】
“ 对任意? > 0，都有?(?) > ?(?)恒成⽴” 等价于“ 对任意? > 0，都有? + 6 ―3 > 2?恒成⽴” ，
?
?
因为? > 0时，? + 6 ―3⩾2 ?·6 ―3 = 2 6 ―3(当且仅当? = 6时等号成⽴)，
?
所以2? < 2 6 ―3即? < 6 ―3，
2
? ―1
【答案】⻅解析
【解析】【⼩问 1】不等式?2 + 3? + 10 < 0，其对应的⼀元⼆次⽅程为?2 + 3? + 10 = 0，在⽅程?2 + 3? + 10 = 0中，得Δ = 9 ―4 × 10 = ―31 < 0，
所以⽅程?2 + 3? + 10 = 0⽆实数根，
⼆次函数? = ?2 + 3? + 10 为开⼝向上的⼆次函数，且与?轴⽆交点，
所以实数?的取值范围是( ―∞， 6 ―3)。
2
【⼩问 3】
因为对∀?1 ∈[0，1 ]，∃?2 ∈[0，1 ]，使得不等式?( ?1 ) > ?( ?2 )成⽴ ，所以不等式?( ?1 )min > ?( ?2 )min，
因为?(?) = ?2 + 3? ―?2 ―4 = (? + 3)2 ―?2 ―25，
24
所以? = ?2 + 3? + 10 的值恒⼤于0，
第 5 ⻚（共 8 ⻚）第 6 ⻚（共 8 ⻚）
所以? = ?(?)在[0，1 ]单调递增，所以?(?)min = ?(0) = ―?2 ―4。
?(? = 2 2 ―2?? + 2 ― 2 = 2(?
? 2 + 2 ―3?2
两个⽅案的利润都是59万,按照时间成本来看,第⼀个⽅案更好,因为⽤时更短,
⽅案①较为合算.
19．已知奇函数?(?)与偶函数?(?)满⾜?(?) + ?(?) = 2?.
因为)?
?―，
)
2
2
(1)求?(?),?(?)的解析式;
2
所以当? < 0，即? < 0时，? = ?(?)在[0，1 ]单调递增，
(2)若?(?) = 4(? < 0),求?
3?
2
的值;
所以?(?)
min
= ?(0) = 2 ―?2，
(3)若函数ℎ(?) = 2??(?) + [ ?(?) ]2,求ℎ(?)在? ∈[0,1 ]上的最⼩值.
则2 ―?2 > ―?2 ―4成⽴，故? < 0；
【答案】⻅解析
?
2
0 ?
3?2
当 ⩽ 2⩽1 ，即0⩽ ?⩽2 时，?(?)min = ?
= 2 ― ，
2
【解析】【⼩问 1 详解】
2
由2 ―3?2 > ―?2 ―4得 ―2 3⩽ ?⩽2 3，所以0⩽ ?⩽2 ；
因为奇函数?(?)与偶函数?(?)满⾜?(?) + ?(?) = 2?,
2?
―2
―?
? ―?
当2
? > 1 ，即? > 2时，?(?)
min
= ?(1 ) = ―?2 ―2? + 4，
得?( ―?) + ?( ―?) = ―?(?) + ?(?) = 2―?,联⽴得,?(?) =
【⼩问 2 详解】
,?(?) =
2
2 + 2 .
2
由―?2 ―2? + 4 > ―?2 ―4得? < 4，所以2 < ? < 4。
综上所述，实数?的取值范围是( ―∞，4)。
18．某物流基地今年初⽤49万元购进⼀台⼤型运输⻋⽤于运输.若该基地预计从第1 年到第?年
由(1)得?(?) =
?―?
2? + 2―?
2
2 ―2―
?
= 4,即2? + 2―? = 8,
2
? 2
2
2―
??
2
2―
??
因为2 + 2
=
+ 2.⼜因为? < 0,则 2 ―
2 < 0,所以 2 ―
2 = ― 6,
3?
2
1
2
(1)该⻋运输⼏年开始盈利?(即总收⼊减去成本及维护费⽤的差为正值)
则?
=
22
( ? ∈?∗ )花在该台运输⻋上的维护费⽤总计为( ?2 + 3? )万元,该⻋每年运输收⼊为23万元.
2
3?
2
1
2
=
2 2 ―2―
3?
? 3
2
― 2―
? 3
(2)若该⻋运输若⼲年后,处理⽅案有两种:
①当年平均盈利达到最⼤值时,以17 万元的价格卖出;
=
?
22 ―2―
·( 2? + 2―? + 1 ) = ―9 6.
2
1
2
?
2
②当盈利总额达到最⼤值时,以8万元的价格卖出.哪⼀种⽅案较为合算?请说明理由.
【答案】⻅解析
【⼩问 3 详解】
ℎ
由题 (?) = 2??(?) + [ ?(?) ]2 = ?( 2? ―2―? ) + 1 ( 2? + 2―? )2, ? ∈[0,1 ].
4
51
【解析】(1)由题意可得23? ―49 ―( ?2 + 3? ) > 0,即?2 ―20? + 49 < 0,
令? = 2? ―2―?,则? ∈ 0, 3
2
,则 (?) = ?(?) = 1 ?2 + ?? + 1 ,
3
2
ℎ
4
解得10 ―
< ? < 10 + 51 ,
当―2?⩾ 3,即?⩽ ―3时,F( t )在 0, 3
上单调递减,ℎ(?)min = ?(?)min = ?
= 3 + 25;
2
∴?⩾3 ,
242
? 16
∴该⻋运输3年开始盈利.;
当―2?⩽0 ,即?⩾0 时,?(?)在 0, 3
2
上单调递增,ℎ(?)min = ?(?)min = ?(0) = 1 ;
(2)该⻋运输若⼲年后,处理⽅案有两种:
当0 < ―2? < 3,即―3 < ? < 0时,ℎ(?)min = ?(?)min = ?( ―2?) = 1 ―?2.
24
①当年平均盈利达到最⼤值时,以17 万元的价格卖出,
?·49
?
?
综上:当?⩽ ―3时,ℎ(?)min = 3 + 25;当―3 < ? < 0时,ℎ(?)min = 1 ―?2;
23? ―49 ―(?2 + 3?) = 20 ―(? + 49)⩽20 ―2
= 6,
42164
?
当且仅当? = 7时,取等号,
?
当?⩾0 时,ℎ(?)min = 1 .
∴⽅案①最后的利润为:23 × 7 ―49 ―(49 + 21) + 17 = 59(万);
②当盈利总额达到最⼤值时,以8万元的价格卖出,
? = 23? ―49 ―(?2 + 3?) = ―?2 + 20? ―49 = ―(? ―10 )2 + 51 ,
∴? = 10 时,利润最⼤,
⽅案②的利润为51 + 8 = 59(万),
第 7 ⻚（共 8 ⻚）第 8 ⻚（共 8 ⻚）