湖南省长沙市第一中学2026届高三上学期月考（四）（11月）数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设复数，则（ ）
A. B.
C D. 2
2. 已知集合，若且，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知在中，是的中点，，，则（ ）
A. B.
C D.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. 4
C. D. 8
5. 某餐厅的原料费支出（单位：万元）与销售额（位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为（ ）
A. 60B. 55
C. 50D. 45
6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. 2D. 4
7. 已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A. -1B. 2024
C. 2025D. 2026
8. 已知 ,则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)
9. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C.
D. 的图象向右平移个单位长度后得到函数
10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为 左、右顶点分别为 以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点M位于第一象限，且 则下列说法一定正确的是
A.
B. 双曲线C的离心率为
C.
D. 当时，四边形 的面积为
11. 已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2，如图将三棱锥的一个面和正四棱锥的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（ ）

A. 新几何体为三棱柱
B.
C 直线AF与CD 异面
D. 正四棱锥棱切球半径为1
三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
12. 函数 的图象在处的切线的倾斜角为______
13. 甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3局就赢得比赛(单局中无平局)．若甲每局获胜的概率为则第4局比赛刚好结束的概率为______(用数字作答)．
14. 已知为数列的前项和，，，，则当，时，______(用表示)．
四、解答题(本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若，求的面积；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
17. 如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，.
（1）求证：平面；
（2）当时，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18. 已知 分别为椭圆的上、下焦点， ，点 为椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点．
（i）当点M运动时，求点的轨迹方程；
（ii）已知以椭圆 上一点为切点的切线方程为 ，若直线l交直线于点 由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点.
19. 已知函数的极大值为．
（1）求实数a的值；
（2）令，实数.求证：有两个极小值点，且；
（3）若.若，成立，求整数t的最小值．
(参考数据：，，，，，)
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