福州三中2025-2026学年高三12月第五次质量检测数学试卷及答案

这是一份福州三中2025-2026学年高三12月第五次质量检测数学试卷及答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
审卷人:高三数学集备组
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知集合 A={x∣0≤x≤a},B=x∣x2−2x≤0 ，若 B⊆A ，则实数 a 的取值范围是
A. 0,2 B. (0,2] C. 2,+∞ D. [2,+∞)
2. 已知复数 z=a+bia,b∈R ，则“ z=z ”是“ z 为实数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 x−x4 的展开式中， x3 的系数为
A. 6 B. -6 C. 12 D. -12
4. 已知函数 y=fx 的图象如图所示，则 fx 的解析式可能为
A. fx=x1−x B. fx=xx−1
C. fx=x1−x2 D. fx=xx2−1
5.将 4 本不同的书全部分给 3 名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为
A. 24 B. 36 C. 64 D. 72
6. 已知等比数列 an 的前 n 项积为 Tn ，且 T3=14,T5=12, 则 T8=
A. 16 B. 4 C. 2 D. 1
已知定义在 ℝ 上的奇函数 fx 满足 f1+x=f1−x ，当 x∈0,1 时， fx=2x−a ，若 fx=mx−1 恰有六个不相等的零点，则实数 m 取值范围为
A. 16,14∪−12,−16 B. 18,14∪−12,−16
C. 16,14∪−16 D. 18,14∪−16
3 在正六边形 ABCDEF 中，点 M 在边 BC 和边 CD 上运动(含端点)，设 AM=λAB+μAF ，. 则 λ+μ 的取值范围是
A. 1,5 B. 2,4 C. 1,3 D. 1,4
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分。
9. 某社会机构统计了某市四所大学 2024 年毕业生人数及自主创业人数如表:
根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为 y=0.14x−0.33 ,则
A. y 与 x 正相关 B. m=6
C. 当 x=3 时,残差为 -0.01 D. 样本的相关系数 r 为负数
10. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1, E 为 A1B1 的中点,点 P 满足 DP=λDB1λ>0 , 则
A. 不存在点 P 使得 AP⊥BE
B. 若 M 为 A1D 的中点，则三棱锥 P−BEM 体积为定值
C. BB1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值是 63
D. 当 λ=23 时，平面 PBC 截正方体 ABCD−A1B1C1′D1 所得截面的面积为 52
11. 数列 an 满足 an+an+1=−1n+1n∈N∗ ，且 a1=−3 ，数列 an 的前 n 项和为 Sn ，从 an 的前 2n 项中任取两项，它们的和为奇数的概率为 Pn ，数列 Pn 的前 n 项积为 Tn ，则
A. a12=14 B. S10=−5 C. Pn>12n>1 D. Tn≤n2n−1
三、填空题:每题 5 分，共 15 分，把答案填在答题卡相应横线上
12. 若 xlg34=1 ，则 4x+4−x 的值为_____.
13 已知 F 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点,若直线 y=3x 与椭圆交于 P,Q 两点,且 PF⊥QF ，则椭圆的离心率为_____.
14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇,记为 Ω . 例如: Ω=fkx∣fkx=kx , k 为参数 } 是一个函数簇. 若函数簇 Ω 中的每一个函数都存在极小值点 x0 ，且当参数 k 变化时,由所有的点 x0,fx0 构成一条曲线 y=gx ,则称函数簇 Ω 存在包络函数 gx . 已知函数簇 Ω=fkx∣fkx=ex−12kx2,k 为参数 } ,若 “ k∈M ” 是 “ Ω 存在包络函数 gx ” 的充要条件，则 M= _____；函数 gx 的解析式为_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15. (13 分) 已知函数 fx=csx−π6+csx+π6+sinx+a 的最大值为 1 .
(1)求实数 d ；
(2)求使 fx≥0 成立的 x 的取值集合.
16.(15分)- 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件 (安静或嘈杂)的影响. 已知在安静环境下，语音识别成功的概率为 1920 ；在嘈杂环境下， 语音识别成功的概率为 34 . 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为 14 ，处于嘈杂环境的概率为 34 .
(1)求每次测试结果为语音识别成功的概率；
(2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案:
方案一:测试 4 次结束测试;
方案二:先测试 3 次，如果这 3 次中成功次数小于等于 2 次，则再测试 2 次后结束测试, 否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案? 请说明理由.
17. (15分)如图，四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形, AB=2A1B1=4,E,F 分别为 DC,BC 的中点,上下底面中心的连线 O1O 垂直于上下底面，且 O1O 与侧棱所在直线所成的角为 45∘ .

(1)求证: B1D// 平面 C1EF ；
(2)求点 D1 到平面 C1EF 的距离；
(3)在线段 BD1 (不含端点)上是否存在点 M ，使得直线 A1M
与平面 CEF 所成的角为 45∘ ? 若存在，求出线段 BM 的长；若不存在，请说明理由.
18. (17分)已知双曲线 Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ， F1−2,0 和 F22,0 分别为 Γ 的左焦点和右焦点， F2 到 Γ 的渐近线的距离为 3 .
(1)求 Γ 的方程；
(2)过 F1 的直线交双曲线 Γ 左交于 A,AB 两点(点 A 在点 B 上方), (i) 求 1AF1+1BF1 的值；
(ii) 过点 F2 作平行于 AB 的直线交双曲线 Γ 右支于 C,D 两点(点 C 在点 D 上方)， AF2 与 CF1 相交于点 W ，求证: WF1+WF2 为定值.
19. (17分)已知无穷数列 an ，定义:对于任意的 n∈N∗ ，都有 an+an+2≥2an+1 ，则称数列 an 为“ T 数列”; 特别地,对于任意的 n∈N∗ ,都有 an+an+2>2an+1 ,则称数列 an 为“严格 T 数列”.
(1)已知数列 an ，数列 bn 的前 n 项和分别为 An ， Bn ，且 an=2n−1 ， bn=−2n−1 ，试判断数列 An ，数列 Bn 是否为:“ T 数列”，并说明理由；
(2)证明:若数列 an 为“ T 数列”，则对于任意的 k,m,n∈N∗ ，当 kEY , 14 分
即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值, 所以应选择方案二. 15 分
17. (15 分)
解: (1) 由题设, 得四棱台为正四棱台, 可建立如图所示空间直角坐标系,

由题意 B1D1=22,BD=42 ,
过点 D1 作 D1M 垂直 BD ,所以 DM=2 ,
因为 OO1 与侧棱所在直线成角 45∘ ,
所以 D1M=DM=BD−B1D12=2 ,
所以 DM⋅sin45∘=2×22=1,DM⋅cs45∘=2×22=1 ,
故 D11,1,2,C11,3,2,A13,1,2,B4,4,0,E0,2,0,F2,4,0 ,
所以 EF=2,2,0,EC1=1,1,2,D1B=3,3,−2 ，
若平面 C1EF 的一个法向量为 n=x,y,z ,
则 n⊥EFn⊥EC1 ,则 n⋅EF=2x+2y=0n⋅EC1=x+y+2z=0 ,
令 x=1 ,则 n=1,−1,0 ,所以 BD1⋅n=0 ,而 BD1⊄ 面 C1EF ,
所以 BD1// 面 C1EF ; 5 分
(2)由(1)知: D1C1=0,2,0 ，
平面 C1EF 的一个法向量为 n=1,−1,0 7 分所以 D1 到平面 C1EF 的距离为 n⋅D1C1n=1×0+−1×2+0×01+1=22=2 ; 9 分
(3)假设在 BD1 上存在点 M ，且 MB=λD1B=3λ,3λ,−2λ,00 ,
故 An+An+2>2An+1 ,所以数列 An 是 “ T 数列”. 3 分
对于任意的 n∈N∗ ,都有 Bn+Bn+2−2Bn+1=−2n−2n+2+2×2n+1=−2n