福建省福州第三中学2026届高三上学期第五次质量检测数学试卷（含答案）

这是一份福建省福州第三中学2026届高三上学期第五次质量检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xy=x2 ，B=yy=x2 ，则A∩B=( )
A. [0,+∞)B. ⌀C. RD. (0,0)
2.已知复数z=|3+4i|i−2，则z=( )
A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i
3.已知双曲线E的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为π3，且点(1,1)在点E上，则E的离心率为( )
A. 3B. 2 33C. 2D. 2 33或2
4.已知θ是第四象限角，且sinθ+π=45，则tanθ+π4=( )
A. 17B. −7C. −17D. 7
5.已知函数f(x)=12x+lg5x，g(x)=x2−3x+94，h(x)=12x−x−12的零点分别为a,b,c，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
6.已知▵ABC中，AB=AC=2,∠BAC=60°，点P在边BC上移动，满足向量AP=λAB+μAC，则AP⋅BP的最大值为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
7.已知数列an满足a1=2，对任意n∈N∗，有an+1=2csnπ+π3,n为奇数an+2,n为偶数，则数列an的前2n+1项和S2n+1=( )
A. 0B. 2n+3C. 2n+1D. 2
8.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(−x)=1，则k=12026f(4k+2)=( )
A. 506B. 508C. 2026D. 4052
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若acsB=bcsA，则▵ABC是等腰三角形
B. 若a=2,b=3,c= 5，则▵ABC的面积为 5
C. 若A=π6，a=2则▵ABC面积的最大值为3+ 3
D. 若▵ABC的外接圆半径为R，SΔABC=abc4R
10.已知正实数a，b满足a+2b=2，则下列说法正确的是( )
A. ab的最大值为14B. 1a+1b的最小值为3+2 22
C. a2+4b2的最小值为2D. a+ 2b的最大值为2
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、G为BC、AA1中点，F在正方形C1CDD1内移动(包括边界)，满足∠DFC=90°，则下列说法正确的是( )
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A. 存在点F使得EF//平面AA1D1D
B. 三棱锥F−ADC的外接球表面积为8π
C. 直线EG上的一点到直线AD1的最短距离为 22
D. 异面直线AF与BC1所成角的取值范围为[π4,π3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y=8x2的准线方程为 ．
13.已知方向向量为(1,3)的直线l与圆x2+y2=5相切，则直线l的方程为 ．
14.某投资公司评估一个需要投资735万的项目，该项目从第1年年末开始，每一年的净利润是m万元，而且收益可以持续50年.若年利率为8％，记第n年年末的收益现值为an(1≤n≤50,n∈N∗)，an= ；若该项目值得投资，则m的最小值为 万元.(参考数据：11.0850≈0.02)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b+ccsB+csC，
(1)求角A；
(2)若MA+MB+MC=0，且AM=1，求▵ABC外接圆半径R
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1=3Sn+2．
(1)若{an}为等比数列，求{an}的通项公式；
(2)若a1=8，bn=2n−1Sn+1，Tn为数列{bn}的前n项和，证明Tnb>0)过点1,2 33，离心率为 33.右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上，且满足OP=OM+ON(O为坐标原点)，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=2 2，AC=AD=4，∠BAD=3π4，如图2，把▵ACD沿AC折起，使点D到达点P处，且平面PAC⊥平面ABC，Q为PC的中点．

(1)求证：AC⊥BQ；
(2)求平面ABQ与平面BQP的夹角的余弦值；
(3)判断线段AP上是否存在点M，使得三棱锥M−ABQ的体积为43.若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−2x−1，函数g(x)=ax2−sinx，
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y=f(x)在x0,fx0处的切线方程为y=p(x)，证明：f(x)≥p(x)恒成立；
(3)若对任意的x∈[0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.C
5.D
6.B
7.D
8.C
9.ABD
10.BCD
11.AB
12.y=−132
13.3x−y+5 2=0或3x−y−5 2=0
；60
15.【详解】(1)由a=b+ccsB+csC得acsB+acsC=b+c，
根据余弦定理，得a⋅a2+c2−b22ac+a⋅a2+b2−c22ab=b+c
化简得a2−b2−c2(b+c)=0，
∵b+c>0，∴a2=b2+c2，
∴A=π2
(2)令D是BC的中点，则MB+MC=MD+DB+MD+DC=2MD，
∵MA+MB+MC=0，
∴MA=−2MD，∴MA=2MD=23DA，
由(1)知，A=π2，
所以▵ABC外接圆半径R=DA=32MA=32．

16.【详解】(1)由Sn+1=3Sn+2得，Sn=3Sn−1+2(n≥2)，两式相减得an+1=3an(n≥2)，若{an}为等比数列，则公比为3，则a2=3a1，
当n=1时，S2=a1+a2=3a1+2，解得a1=2，
所以{an}的通项公式为an=2×3n−1．
(2)由Sn+1=3Sn+2得Sn+1+1=3Sn+1，又a1=8，所以Sn+1是首项为9，公比为3的等比数列，则Sn+1=3n+1，则bn=2n−13n+1，
Tn=13 2+33 3+⋯+2n−33n+2n−13n+1，
则13Tn=13 3+33 4+⋯+2n−33n+1+2n−13n+2，
两式相减得23Tn=19+23 3+23 4+⋯+23n+1−2n−13n+2=19+227−23n+21−13−2n−13n+2=29−2n+23n+2，
所以Tn=13−n+13n+1，
因为n≥1且n∈N∗，所以n+13n+1>0，故Tn=13−n+13n+10y1+y2=−4m2m2+3y1y2=−42m2+3,
因为OP=OM+ON，所以yP=y1+y2=−4m2m2+3，所以xP=myP+2=62m2+3，
所以P(62m2+3,−4m2m2+3)，
又点P在椭圆C上，所以62m2+323+−4m2m2+322=1，
解得m2=12或m2=−32(舍)，
所以m=± 22，故直线l的方程为x=± 22y+1，即 2x±y− 2=0．


18.【详解】(1)证明：在图1中，由AB=BC=2 2,AC=4，可得AB2+BC2=AC2，
所以AB⊥BC，则∠BAC=π4，
因为∠BAD=3π4，可得∠CAD=π2，所以DA⊥AC，
在图2中知PA⊥AC，取AC的中点O，连接QO，BO，
又因为Q为PC的中点，可得QO//PA，所以QO⊥AC，
因为AB=BC=2 2，可得BO⊥AC，
又因为BO∩QO=O，且BO,QO⊂平面BOQ，所以AC⊥平面BOQ，
因为BQ⊂平面BOQ，所以AC⊥BQ．
(2)解：由题意知，平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且QO⊥AC，所以QO⊥平面ABC，所以直线OB,OA,OQ两两垂直，
以O为坐标原点，直线OB,OA,OQ分别为坐标轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得A(0,2,0)，B(2,0,0)，Q(0,0,2)，P(0,2,4)，
则AB=(2,−2,0)，AQ=(0,−2,2)，QB=(2,0,−2)，QP=(0,2,2)，
设平面ABQ的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB=2x−2y=0n⋅AQ=−2y+2z=0,
令y=1，可得x=1，z=1，所以n=(1,1,1)，
设平面PBQ的法向量为m=(a,b,c)，因此m⋅QB=2a−2c=0m⋅QP=2b+2c=0,
令a=1，可得b=−1，c=1，所以m=(1,−1,1)，
因此csm,n=m⋅nm⋅n=1−1+1 1+1+1× 1+1+1=13，
所以平面ABQ与平面BQP的夹角的余弦值为13．
(3)解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为43，
在▵ABQ中，AB=AQ=BQ=2 2，可得S▵ABQ=12×2 2×2 2× 32=2 3，
因为三棱锥M−ABQ的体积为43，
设点M到平面ABQ的距离为d，可得13×2 3×d=43，因此d=23 3，
因此点M到平面ABQ的距离为23 3，
令AMAP=λ(012时，则q′(0)=1−2a0，
得到q′(ln(2a+2))⋅q′(0)