江苏省无锡市新吴区侨谊实验学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省无锡市新吴区侨谊实验学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是( )
A. 贵州航空
B. 江西航空
C. 春秋航空
D. 香港航空
2.已知图中的两个三角形全等，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图，已知，下列条件中，不能使≌的是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是( )
A. ，，B.
C. D.
5.下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )
A. 1mB. C. 2mD.
7.在中，，的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是( )
A. 为等腰三角形时，B. 不可能是等边三角形
C. 为直角三角形时，D.
8.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使若，，，则以x、m、n为边长的三角形的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 随x、m、n的值而定
9.如图，中，，，，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为( )
A. 2
B. 3
C.
D. 4
10.直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是( )
A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为______.
12.如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接若，，，则的周长等于______.
13.如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则______度．
14.如图，D为内一点，CD平分，，垂足为D，交AC于点E，若，，，则BD的长为______.
15.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为和，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______.
16.机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是______填写序号
17.如图，以AB为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点若，则______注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如表示的面积
18.如图，中，，，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转角，与射线AB相交于点D，将沿射线CP翻折至处，射线与射线AB相交于点若是等腰三角形，则的度数为______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
如图，点C、E、F、B在同一直线上，，，
求证：≌；
若，，求的度数.
20.本小题8分
如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图.
在图1中，画出关于直线l对称的图形；的面积为______；
在图2中，画出的角平分线.
21.本小题8分
某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
22.本小题10分
已知中，
如图1，在中，若，且，求证：；
如图2，在中，若，且CD垂直平分AE，，，求BD的长.
23.本小题10分
如图：在中，，，，动点P从B出发沿射线BC以的速度运动，设运动时间为t秒．
当______时，AP平分的面积．
当为等腰三角形时，求t的值．
若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出的最小值．
24.本小题12分
【了解概念】
如图1，在和中，，，，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将叫做和的底联角.
【探究归纳】
两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论.
【拓展提升】
运用中的结论解决问题：
如图2，，，，，求的度数；
如图3，在四边形ABCD中，，，，点O为四边形ABCD内一点.且，，，求AD的长.
25.本小题10分
课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”.王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.
若两直角边为a，，斜边为
请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；
当为奇数，且时，若______，______时可以构造出勾股数用含n的代数式表示；并证明你的猜想；
当为偶数，且时，若______，______时可以构造出勾股数用含n的代数式表示；
构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：图中的两个三角形全等，
故选：
直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：，，，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出≌，故本选不项符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有
4.【答案】C
【解析】解：A、，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、设，则，，
则，
，
即，
不是直角三角形，符合题意；
D、，，
，
是直角三角形，符合题意．
故选：
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；
④两边分别相等且其夹角也相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
综上，真命题有2个．
故选：
利用线段的垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的定义、全等三角形等知识点逐项判断即可．灵活运用相关定义是解题的关键．
本题考查命题与定理，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形，灵活运用相关定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，过D作于E，
，
，
平分，，，
，
，，
，
，
故选：
点D到AB的距离，指的是过点D作AB的垂线段DE的长度，根据角平分线的性质，可以得到，利用，，可以求出线段CD的长度，问题即可解决．
本题考查了角平分线的性质，点D到AB的距离指的是过点D作AB的垂线段的长度，是解决此题的突破口．
7.【答案】C
【解析】解：A、当，即时，是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；
B、周长为12的等边三角形，边长为4，而，故不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；
C、是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知，时，或，，都可以，原说法错误，故选项符合题意；
D、根据三角形的三边关系可知，说法正确，故选项不符合题意．
故选：
根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．
本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
将绕点B顺时针旋转得到连接想办法证明，即可解决问题.
【解答】
解：将绕点B顺时针旋转得到，连接
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，m，n为边长的三角形是钝角三角形，
故选
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接CM、CN，
中，，，，，
，点M、N分别是DE、AB的中点，
，，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
的最小值为：
故选：
根据三角形斜边中线的性质求得，，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过C点作于E，
，，，，
是直角三角形，
，
，
，
四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，
，
，
，
，
与点C距离最大的是点
故选：
根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．
11.【答案】15
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，
所以其另一边只能是6，
故其周长为
故答案为
12.【答案】16
【解析】解：垂直平分AE，
，
，
又，
的周长，
故答案为：
根据线段垂直平分线得到，直接根据周长公式计算即可．
此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．
13.【答案】15
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，，
，
故答案为
根据等边三角形三个角相等，可知，根据等腰三角形底角相等即可得出的度数．
本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为以及等腰三角形的性质，难度适中．
14.【答案】2
【解析】解：如图，平分，，
则，，
在和中，
，
≌，
又，
，，
，
故答案是：
由已知条件判定的等腰三角形，且；由等角对等边判定，则易求
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
、CE分别为和，
，
，
故答案为：
由直角三角形的性质得出，根据AAS可证明≌，由全等三角形的性质得出、，求出DE的长即可解答．
本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明≌是解题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：如图，连接AC，
由题意知：，，
在直角中，由勾股定理知：
在直角中，
因为，，，，
所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③．
故答案为：①②③．
先根据勾股定理求得长方体的体对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可解答．
本题考查勾股定理，求得长方体的体对角线的长度是解题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：如图，连接MQ，作于G，设PC交BM于TMN交EC于
，
，
，，
≌，
，
，
，P，Q共线，
四边形CGMP是矩形，
，
，，，
，
≌，
，
，
，可证≌，
，
故答案为
如图，连接MQ，作于G，设PC交BM于TMN交EC于证明≌，推出，由，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP是矩形，推出，证明≌，推出，由，，可证≌，推出，
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
18.【答案】或
【解析】解：由折叠得：，，
分三种情况：①当时，
，
是的一个外角，
，
；
②当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不成立；
③当时，如图：
，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或，
故答案为：或
根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了翻折变换折叠问题，等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，

【解析】利用平行线的性质得，再利用AAS证明≌；
利用全等三角形的性质得，再利用三角形外角的性质可得答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，证明≌是解题的关键．
20.【答案】4
【解析】解：如图1：即为所求．
的面积为
如图2：线段BD即为所求．
.
根据轴对称的性质确定A，B，C的对应点D，E，F，然后再顺次连接即可，再运用割补法求的面积即可；
先构造等腰直角三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质作图即可．
本题主要考查了作图-轴对称变换，三角形的面积，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
21.【答案】解：连接AC，
，，，，
，即，
又，
，
是直角三角形，
四边形ABCD的面积，
学校要投入资金为：元；
答：学校需要投入7200元买草皮．
【解析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出是直角三角形是解题关键．
直接利用勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理得出，再利用三角形的面积得出答案．
22.【答案】证明：，
，即
在与中，
，
≌，
解：如图2：连接BE，
垂直平分AE
，
，
是等边三角形，
，
≌，
，，
，，

【解析】由角的和差可得，进而证得≌，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
如图2：连接BE，由垂直平分线的性质可得，进而得到是等边三角形，即；再运用全等三角形的性质可得，，最后运用勾股定理即可解答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】1
【解析】解：，，，
，
当时，AP平分的面积，
即，
，
则当时，AP平分的面积；
故答案为：1；
分三种情况：
①如图1，，
由题意得：，
，
由勾股定理得：，
，
；
②如图2，，
，
；
③如图3，，
，
，
，
，
；
综上所述，当为等腰三角形时，t的值是或或4；
如图4，延长AC至，连接，过点A作于，在AB上取，
则AB与关于BC对称，
，
，即此时的值最小，且最小值是的长，
，，
的面积，
，
的最小值是
先由勾股定理可得BC的长，当AP是中线时，AP平分的面积，即，可得结论；
当为等腰三角形时，存在三种情况：或或，根据和等量关系列方程可解答；
如图4中，如图4，延长AC至，连接，过点A作于，在AB上取，根据对称可知：的最小值就是的长，根据面积法可得结论．
本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．
24.【答案】解：两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．
理由：如图1，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
当点D在的内部时，如图2甲，延长BD交CE于点F，
，，，
，
，
；
当点D在的外部时，如图2乙，BD交CE于点F，交AC于点G，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
综上所述，或
如图3，连接AC、BD交于点F，
，，，
，
，
，，，，
，
，，，
，
，
的长为
【解析】由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明≌，推得，再由，得；
当点D在的内部时，延长BD交CE于点F，由中的结论直接推得，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数；当点D在的外部时，设BD交CE于点F，交AC于点G，先证明≌，得，则，由此推得，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数；
连接AC、BD交于点F，则，由勾股定理可推得，则，可求出AD长．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．
25.【答案】 ； 25或52或101或29
【解析】解：、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
，60，61；
故答案为：60，
观察发现：当为奇数，且时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：；
证明如下：
，
，
又为奇数，且，
，三个数组成的数是勾股数．
观察发现：当为偶数，且时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，；
证明如下：
，
，
又为偶数，且，
，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，；
由勾股定理可得：，
当，则有：，即，
当，
解得：；
当，
解得：；
当，
解得：；
当，
解得：
综上，c的值为25或52或101或
故答案为：25或52或101或
分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；
根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；
由勾股定理可得：，再根据勾股定理可得；然后根据列举法即可解答．
本题考查了勾股数，列代数式，规律型：图形的变化类，发现规律是解题的关键．