精品解析：内蒙古自治区赤峰市普通高中联盟2025~2026学年高二上学期期中测试数学试卷

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第九、十章，选择性必修第一册第一章到第二章2.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个盒子内有粒绿豆和粒红豆，从盒子内随机取一粒豆子，则所取豆子为红豆的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概率公式直接计算可得.
【详解】试验的总样本空间为，，设所取豆子为红豆的事件为A，，
根据古典概率的公式.
故选：C.
2. 已知空间四点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则，根据起点相同的原则，首先计算，再计算，即可得出正确答案.
【详解】；
故选：.
3. 若直线：与：垂直，则（ ）
A 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线互相垂直列式计算即可.
【详解】由，可得，解得.
故选：B
4. 已知平面的一个法向量为，是平面外一点，是平面内一点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线与平面所成角的向量公式即可求解.
【详解】由题可得.因为平面的一个法向量为，
所以所求角的正弦值为.
故选：B
5. 点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可.
【详解】设对称点的坐标为，
由题意可得，得，
所以对称点的坐标为.
故选：C.
6. 若，，三点共线，则（ ）
A. 169B. 144C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量共线的坐标表示求出即得.
【详解】依题意，，，由，，三点共线，
得，则，解得，，所以.
故选：A
7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可.
【详解】取的中点的中点，连接.
因为，所以，且.
以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，得，所以点到平面的距离为.
故选：A.
8. 已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（ ）
A. 16B. 20C. 24D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解.
【详解】如图：
依题意设直线的方程为（，），则，且，，
所以，即，当且仅当，时，等号成立，
所以的面积，则面积的最小值为20.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可.
【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下：
因为，
所以，
所以A不正确；B正确；C正确；D不正确；
故选：BC
10. 在正四面体中，为棱中点，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】求证即可判断A；B利用向量的运算化简即可；C利用基底和数量积的运算律求出，，最后利用公式化简即可；D利用基底表示，再利用数量积的运算律和定义化简即可.
【详解】连接，因为正四面体，则均为等边三角形，
又为棱的中点，则，则与不可能垂直，故A错误；
，故B正确；
设正四面体棱长为，
则，
，
在上的投影向量为，故C正确；
因为，则为线段的中点，
则，
则
故D错误.

故选：BC
11. 在正方形中，，，，，点（不与重合）在线段上，点（不与，重合）在线段上，光线从点出发到达点后，在正方形内不断反射，直至到达正方形顶点时停止，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，，则光线第一次反射后落在上的点的纵坐标为
B. 若光线第一次反射后落在上，则的斜率
C. 若的斜率，则光线第一次反射后落在上
D. 若点与点重合，且光线最终到达点，则反射次数为偶数
【答案】ACD
【解析】
【分析】A确定关于直线的对称点，求出直线并将代入求解判断；B、C设，其中，得斜率，设时，将代入求对应范围判断；D利用入射、反射光线斜率互为相反数，且光线的可逆性，分析光线的路径，判断的奇偶性.
【详解】对于A，关于直线的对称点为，则，
直线的方程为，令，得，正确.
对于B、C，设，其中，
由，关于直线对称点分别为，，则的斜率，
当时，设直线的方程为，
令，得，即与线段有交点，
即光线第一次反射后落在上，B错误，C正确.
对于D，因为每一次反射的反射光线斜率与入射光线斜率互为相反数，而过点的光线斜率不可能与的斜率互为相反数，
所以过点的光线斜率与的斜率相等，
因为光线可逆，考虑光线从点返回，不断反射会回到点，
所以整个光线路径是关于原点对称的，
设光线路径为，
则为偶数，共有个点，条光线，反射次数为偶数，正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 数据的第百分位数为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先升序排列数据，再求出百分数位置，进而求解．
【详解】将这组数据按照升序排列为．
百分数位置，
，向上取整为6，第6项为3，
这组数据的第百分位数为3．
故答案为：3．
13. 已知直线：，则在轴上的截距为______，坐标原点到的距离为______.
【答案】 ①. ##； ②.
【解析】
【分析】根据轴上截距的定义可求解第一空；利用点到线的距离可求第二空.
【详解】令，得，则在轴上的截距为.
坐标原点到的距离.
故答案为：；
14. 如图，在几何体中，，，，，，平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，进而利用向量夹角的余弦公式求解．
【详解】平面，平面，，
又，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
则，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若直线：，：，求倾斜角及与之间的距离；
（2）设直线：，其中为常数，证明过定点并求该定点的坐标.
【答案】（1）30°（或），3；（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据直线一般式方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角，根据平行直线间距离公式计算可得与之间的距离；
（2）由题意列方程组求解.
【详解】（1）因为的斜率为，所以的倾斜角为30°（或），
因为与平行，
所以与之间的距离为；
（2）令，得，
所以过定点，且定点坐标为.
16. 已知的三个顶点是，，.
（1）求边BC上的中线所在直线的截距式方程；
（2）求边BC上的高所在直线的斜截式方程；
（3）求边BC的垂直平分线的一般式方程
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得BC的中点坐标，即可求得直线AD的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案；
（2）先求得BC所在直线的斜率，根据两直线的位置关系，可得BC上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案；
（3）根据BC上的高所在直线的斜率和BC的中点坐标，代入点斜式方程，整理即可得答案.
【小问1详解】
由题意得BC的中点坐标，
所以，
所以BC上的中线AD方程为，整理得截距式方程为.
【小问2详解】
BC所在直线的斜率为，
所以BC上的高所在直线的斜率，
又BC上的高过点，
则BC上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为.
【小问3详解】
由（2）得，与BC垂直的直线斜率为，
由（1）得BC的中点坐标，
所以BC的垂直平分线的方程为，整理得一般式方程为.
17. 如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点.

（1）用向量，，表示向量；
（2）求；
（3）求.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解；
（2）利用基底表示向量，先求基底的数量积，问题即可求解；
（3）利用基底的数量积运算即可求向量的模.
【小问1详解】
因为是的中点，所以，
又因为为线段上靠近的三等分点，所以，
又因为是的中点，所以，
则；
【小问2详解】
因为，，，
所以，
，
所以
【小问3详解】
18. 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立.
（1）求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率；
（2）求前4局中甲参与了3局的概率；
（3）求第4局是甲、乙对打的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可；
（2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可；
（3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率.
【小问1详解】
若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为.
若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为.
故所求概率为.
【小问2详解】
分三种情况.
第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了.
因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜，
其概率为.
第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了.
因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负，
其概率为.
第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了.
其概率为.
故所求概率为.
【小问3详解】
第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜.
此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打.
其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜.
此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打.
其概率为.
故所求概率为
19. 如图，在圆台中，，分别为上、下底面圆的直径，，分别为上、下底面圆的圆心，，，，分别为上、下底面圆周上的动点，其中异于，，在下底面的射影为点.
（1）设.
（ⅰ）证明：.
（ⅱ）求四棱锥的体积.
（2）求二面角的正弦值的最小值.
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4
（2）
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）由投影的性质得，垂直于底面，所以，且，又，在中，利用勾股定理，求得；在中，，证得，在根据线面垂直的判定定理，证得平面，最终得到.（ⅱ）根据长度关系：，，，，所以，，三点共线，于点，为直径，所以于点，所以四边形的面积，四棱锥的体积，计算即可得出体积.
（2）利用空间向量的方法，建立空间直角坐标系；由题意得：点在以为圆心，半径的圆上，根据三角函数的定义，假设，，，分别计算平面和平面的法向量，最终计算得出二面角正弦值的最小值.
【小问1详解】
（ⅰ）因为在下底面的射影为点，所以.
又，所以.
连接.因为上底面圆的直径为2，所以，
所以，则，即.
因为平面，平面，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.
（ⅱ）连接.因为，，，所以，，三点共线.
又，所以四边形的面积，
则四棱锥的体积.
【小问2详解】
以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.设，，
则，，，
，
设平面的法向量为，
则由可得
令，得.
由图可知，平面的一个法向量为.
.
设二面角的大小为，
则.
因为，所以，
则，则二面角的正弦值的最小值为.