【数学】内蒙古赤峰市名校2024-2025学年高二上学期期中联考试题（解析版）

这是一份【数学】内蒙古赤峰市名校2024-2025学年高二上学期期中联考试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 关于空间向量，，，下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由数量积运算的交换律可得,选项A正确.
由数量积运算的分配率可得，选项B正确.
由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确.
表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误.
故选：D.
2. 某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为.
故选：A
3. 在正方体中，下列向量与平行的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，在正方体中，.故选：A
.
4. 若数据的方差为0.2，则数据的方差为（ ）
A. 0.2B. 0.8C. 1.6D. 3.2
【答案】D
【解析】根据数据的方差为0.2可得数据的方差为.
故选：D
5. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点.设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点，
.故选：D
6. 已知点，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】,
故点到直线的距离为, 故选：B
7. 在正四面体中，为棱的中点，，则（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】B
【解析】
因为为棱的中点，所以，
所以. 故选：B.
8. 金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ）
A. A与C是对立事件B. C与D相互独立
C. A与D相互独立D. B与D不互斥
【答案】C
【解析】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：
（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），
（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），
（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），
（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，
则，，，.
由可得A与C不是对立事件，选项A错误.
，C与D不相互独立，选项B错误.
，A与D相互独立，选项C正确.
由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知空间向量，，，则（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
【答案】AC
【解析】，A正确；
，，，B错误；由得，C正确；
在方向上的投影向量为，D错误. 故选：AC.
10. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A. 这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大
B. 这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C. 这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D. 这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大
【答案】ACD
【解析】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，
B地月降雨量按升序排列可得：，
对于选项A：可知A地月平均降雨量为，
B地月平均降雨量为，
因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确；
对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为，
因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误；
对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为，
因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确；
对于选项D：因为，可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40，且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确； 故选：ACD.
11. 在空间直角坐标系中，已知 ，则（ ）
A. 为质数
B. 为直角三角形
C. 与所成角的正弦值为
D. 几何体的体积为
【答案】BCD
【解析】对于选项A：因为，
所以不是质数，A错误；
对于选项B：因为，则，
所以为直角三角形，B正确；
对于选项C：因为，
所以与所成角的正弦值为，C正确；
对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，
且与该三棱台的底面垂直，
所以几何体的体积为，
D正确. 故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一组数据为1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，则这组数据的众数为_________.
【答案】3
【解析】这组数据中，3出现的频数最大，所以这组数据的众数为3. 故答案为：
13. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为_________.
【答案】或
【解析】因为，所以与的夹角为. 故答案为：或
14. 在如图所示的方格表中选个方格，若要求每行和每列都恰有个方格被选中，则被选方格的个数之和的最大值为_________.
【答案】
【解析】将方格表中的第列、第列、第列、第列、第列的各数分别减去10，，，40，50，得到的表格如下：
由表格可知第行、第行应选的数字为，则第行应选的数字为第列的，
第行应选的数字为，第行应选的数字为，从而可得被选方格的个数之和的最大值为. 故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在空间直角坐标系中，已知，，，.
（1）若，求m的值；
（2）若，求值.
解：（1），，因为，所以，
即，解得.
（2），，因为，所以，
解得，则.
16. 某中学高二年级的所有学生学习完人教A版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩（满分150分）按照，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数（每组数据取区间的中间值作代表）；
（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在和内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析，再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在内的概率.
解：（1）由频率分布直方图可知该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数约为
分
（2）因为测试成绩在和内的频率之比为2：1，
所以抽取的6人中测试成绩在内的有4人，记为a，b，c，d，
测试成绩在内的有2人，记为A，B.
从这6人中任选2人的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中这2人的测试成绩均在内的情况有6种，
故所求概率为.
17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，点E是的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求点B到平面的距离.
（1）证明：证法一:以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A2,0,0，，，，，，
，，.设是平面的法向量，
则令，得.
因为，所以，
所以平面.
证法二：
设，的中点为，连接，，.
在和中，有，.
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面.
因为平面，，所以平面.
（2）解：由题意得，，点B到平面的距离.
18. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求两人各自闯关成功概率；
（2）求三人中恰有两人闯关成功的概率.
解：（1）设两人各自闯关成功的概率分别是.由题意得解得，所以两人各自闯关成功的概率分别是，.
（2）三人中只有闯关成功的概率，
三人中只有闯关成功的概率，
三人中只有闯关成功的概率，
故三人中恰有两人闯关成功的概率为.
19. 如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面
（1）证明：平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.
（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以
又因为平面ABCD，平面ABCD，所以
因为，且，平面，所以平面
解：（2）因为平面，平面，所以，，
又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，
以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，故
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为
（3）若存在点P满足题意，则可设点，其中，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，故易得平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去)，
故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为
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