广东省广州市三校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（学生版）

这是一份广东省广州市三校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（学生版），共6页。
一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（ ）
A. 3x+2y－1＝0B. 3x+2y+1＝0
C. 2x+3y+1＝0D. x－2y－3＝0
2. 若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 两圆与的公共弦长等于（ ）
A 4B. C. D.
5. 在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题．本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，错选不得分，漏选得部分分.
9. 已知直线，下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 当时，关于轴的对称直线为
C. 直线一定经过第四象限
D. 点到直线的最大距离为
10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A.
B. 的最大面积为
C. 存在点P，使得
D. 的周长最大值是
11. 如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形上的动点，则（ ）
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若圆与圆有且仅有一条公切线，_____ .
13. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.
14. 设，过定点A动直线与过定点B的动直线的交点为P，则的最大值为________．
四、解答题．本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）求经过点且与圆相切的直线方程.
16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，点、分别为线段和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离.
17. 已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，过点的直线交于两点，当与轴垂直时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率存在且不为，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.
（1）求证：直线平面；
（2）a为何值时，的长最小?
（3）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
19. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆.
（1）求圆C与圆M的根轴l；
（2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程；
（3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上动点，求的最小值及此时点N的坐标.