浙江省杭州市浙大附中2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分.
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集和交集的概念求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，
而 推不出 ，
“ ”是“ 充分不必要条件
3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相同函数的定义一一判定即可.
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【详解】对于 A 项，两函数的对应关系不同，故 A 错误；
对于 B 项， ，两函数定义域不一样，故 B 错误；
对于 C 项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
两函数定义域不一样，故 C 错误；
对于 D 项， ，与 ，
两函数定义域一样，对应关系一样，故 D 正确.
故选：D.
4. 若角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出 的值，可得 的值．
【详解】因为角 的终边经过点 ， ， ， ，
所以 ，
则 .
故选：C.
5. 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，由已知列出不等式组，求解即可得出
答案.
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【详解】因为 在 上单调递减，
根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，
可得 ，
解得 .
故选：C.
6. 若正实数 满足 ，则函数 与函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由解析式得 的零点为 或 ，讨论 、 判断 的范围，数形结
合判断满足要求的图象.
【详解】令 ，可得 或 ，
对于 ，若 ，则 的零点 ，A 满足，B 不满足；
对于 ，若 ，则 的零点 ，C、D 不满足.
故选：A
7. 已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间 上
单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定 的值，求得 ，利用二次函数的单调性即可确
定参数 a 的取值范围.
【详解】因幂函数 是 上的偶函数，
则 ，解得 或 ，
当 时， ，该函数是定义域为 的奇函数，不合题意；
当 时， ，该函数是定义域为 的偶函数，符合题意．
故 ，则 ，其对称轴方程为 ，
因为 在区间 上单调递减，则 ，解得 ．
故选:C.
8. 若函数 在定义域 上的值域为 ，则称 为“ 函数”．已知函数
是“ 函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据“ 函数”的定义确定 的值域为 ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，
即可求得答案.
【分析】由题意可知 的定义域为 ，又因为函数 是“ 函数”，
故其值域为 ，而 ，则值域为 ；
当 时， ，
当 时， ，对称轴 且开口向上，
则 在 上单调递增，则 ，
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故由函数 是“ 函数”可得 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ，
故选：C.
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分.
9. 下列函数在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】求函数的单调区间，首先要确定函数的定义域，若存在定义域之外的元素，则不符合条件；对其
他选项可根据特殊函数的单调性得出.
【详解】由“对勾”函数的单调性可知，函数 在 单调递增，A 正确；
由 在 单调递增， 在 单调递减，知 在 单调递增，B 正确；
函数 在 处无定义，因此不可能在 单调递增，C 错误；
函数 的定义域为 ，因此在 上没有定义，故不可能在 单调递
增，D 错误.
故选:AB.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则 的最大值是
B. 若 ， ， 都是正数，且 ，则 的最小值是 3
C. 若 ， ， ，则 的最小值是 2
D. 若实数 ， 满足 ，则 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于 B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可
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得答案；对于 C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于 D，采用换
元法，设 ， ，可将原式化简为 ，结合基本不等式，可得答案．
【详解】对于 A，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最大值为 ，故 A 正确；
对于 B，因为 x，y，z 都是正数，且 ，所以 ， ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 ，即 时等号成立，所以 的最小值为
3，故 B 正确；
对于 C，因为 ， ，所 ，即 （当且仅当 时等号成立），
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 （舍去）或 ，当且仅当 时等
号成立，
所以 的最小值为 4，故 C 错误；
对于 D， ，设 ， ，
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∵ ，当且仅当 ，即 时，取等号
∴
则 的最大值为 ，故 D 正确．
故选：ABD.
11. 定义区间 的长度为 ，记函数 （其中 ）的定义域 的长
度为 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 的最大值为
C. 在 上单调递增
D. 给定常数 ，当 时， 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求函数 的定义域，得 判断选项 A；利用单调性定义证明单调性判断选项 C，由单调性
求判断函数的最值判断 BD 选项．
【详解】由 ，得 ， ， ，A 选项正确；
设 ，则 ，
， ， ， ， 在 上是增函数，
同理可证， 在 上 减函数，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数，C 选项错误；
为最大值，B 选项正确；
， ， ， 在 上是增函数，在 上是减函数，
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的最小值为 和 中较小者，
．
的最小值为 ，D 选项正确．
故选： ．
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分.
12. 与角 终边相同的最小正角是________．（用弧度表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.
【详解】与角 终边相同的最小正角是 ，即 ，
故答案为：
13. 已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先应用对数运算律对 化简，再求解．
【详解】依题意， ，
，所以 ．
故答案为： .
14. 设 为两两不同的实数，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的求解以及对等式性质的运用，解题的关键思路是通过对已知等式进行变形，
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构造出关于 k 的方程，进而求解 k 的值.
【详解】因为 ，所以 ①
同理可得 ②， ③；
由①得到 ④
由②得到 ⑤
由④、⑤得到 ，即 ；同理得
所以 ，化简得到
因为 为两两不同的实数，所以 ，所以 ，得到 ；
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.
15. 设集合 ，集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 且“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空集的定义求解；
（2）根据 、 求解.
【小问 1 详解】
因 ，则 ，即 ，
故实数 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
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由题意得， 且 ，则 ，得 ，
故实数 的取值范围 .
16. 杭州塘栖，位于京杭大运河畔，是闻名遐迩的“枇杷之乡”.这里出产的白沙枇杷，具有“塘栖枇杷甲
天下”的美脊.白沙枇杷树单株的产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）满足如下关系：
，白沙枇杷树单株肥料成本投入为 20x 元及其它成本投入（如培育管理、施
肥等人工费） 元.已知白沙枇杷的市场售价大约为 30 元/千克，且销路畅通供不应求.记白沙枇杷树单株
利润为 （单位：元）.
（1）求 的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当施用肥料为 4 千克时，种植该水果单株利润最大，最大利润为 960 元.
【解析】
【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；
（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1），当 时， ，对称轴为 ，在 单调递增，
，
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当 时，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，又
所以当施用肥料为 4 千克时，种植该水果树获得单株利润最大，最大利润是 960 元.
17. 已知函数 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）设 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 求出 ，再检验函数为奇函数即可得；
（2）求出 时 的最小值，然后解不等式 ，同时使得对数有意义．
【详解】（1）由于 为奇函数，且定义域为 ，∴ ，即 ， .
检验：当 时， ，
，∴ 为奇函数.
（2）∵ ，∴ ，
又∵ 在区间 上是增函数，
∴当 时， ，
由题意得 ，∴ .
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【点睛】方法点睛：本题考查由奇偶性求参数，考查不等式恒成立．由奇函数求参数的方法：
（1）若 时有意义，则由 求得参数，然后代入进行检验函数确实是奇函数，检验的原因是
是 为奇函数的既不充分也不必要的条件．
（2）根据奇函数的定义求解．
18. 已知定义在 上的函数 在区间 上单调递减，且 ，
.
（1）证明： ；
（2）判断函数 的奇偶性，并给予证明；
（3）当 时，求不等式 .
【答案】（1）证明见解析；
（2）函数 为偶函数，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）令 ， 得 ，结合已知得 ，即可证；
（2）取 ，观察等式 与奇偶性 自变量互为相反数，即可证；
（3）用赋值法，将 转化为 ，从而把不等式转化为关于 的一元二次不等式，利用
的单调性和奇偶性可可解不等式．
【小问 1 详解】
令 ， ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
函数 为偶函数，证明如下：
由（1）知， ，令 ，则 ，
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所以 ，所以 ，
所以函数 为偶函数；
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
又 ， ，所以 ．
当 时， 在区间 上单调递减，
由（2）知函数 为偶函数，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，解得 ．
所以当 时，不等式 的解集为 .
19. 已知函数 定义域为 ，若存在 ， ，实数 大于 0，对 ，有
成立，则称 为定义在 上的 函数.
（1）已知 为定义在 上的 函数，求最大的区间 ；
（2）已知 为定义在 上的 函数，求实数 的取值范围；
（3）已知 为定义在 上的 函数，求 的最小值及此时 ， 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合题意，令 求解 的范围即可.
（2）结合题意令 转化成二次函数在定区间上的恒成立问题求解.
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（3）结合题意，将题目转化成恒成立的问题求解即可.
【小问 1 详解】
即 解得:
故最大的区间 为：
【小问 2 详解】
恒成立，即 且
即 且 令 则 且
则 且
故
【小问 3 详解】
因为 为定义在 上的 函数,
所以对 恒成立,
分别取 ,
得
则 .
所以 .
, ,
当 时, ,
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解得: .
故答案为： .
【点睛】新结构题目读懂题目的含义结合所学知识求解是关键.
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