河南省南阳市2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了保持卷面清洁，不折叠､不破损，已知，则，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则A的子集的个数有（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
2.已知复数z满足，为虚数单位，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.若x0，则恒成立的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
4.已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A.-1 B. C.1 D.
5.已知不等式的解集是（，0），设，则函数y=f（x）的大致图象不可能为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入2个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A.35 B.36 C.37 D.38
8.（北师大必修第一册P128第2题）教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合类函数的相关问题.已知函数则该函数在上的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.记为等差数列的前项和，公差为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.没有最小值 D.
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.该函数图象上始终有两个增区间和一个减区间（ ）
B.若为的极小值点，则的取值范围为
C.若为f（x）的极大值点，则的取值范围为
D.若，则过点且与曲线相切的直线有且只有两条
11.已知函数在（0，π）上恒有，其中则下列结论正确的是（ ）
A.成等差数列 B.成等比数列
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知正数满足，则的最大值是__________.
13.若f（x）是定义在上的偶函数，且满足为奇函数，则__________.
14.（北师大选择性必修二P82练习2改编）设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）（北师大选择性必修第二册P90第2题）
如图①为一个圆锥形酒杯，圆锥的顶角（即过圆锥的轴的平面截圆锥所得等腰三角形的顶角）为60°，向酒杯中注水.
（1）写出注入杯中的水量（单位：）关于水面高度（单位：）的函数关系式；
（2）图②的图象是否能反映第（1）问中的函数关系？说明理由.
16.（15分）
已知的外接圆半径为，内切圆半径为r，角的对边分别为，且
（1）求R的值；
（2）求r的取值范围.
17.（15分）
“生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且.
（1）求；
（2）求
18.（17分）
已知函数），若的图象过三点，其中点为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围.
19.（17分）
已知函数
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）求不等式的解集；
（3）设函数，若函数恰好有两个不同的极值点，求实数a的取值范围.
2025年秋期高中三年级期中质量评估数学试题
参考答案
一､选择题
1.【解析】集合，则集合的子集的个数有个.
故选：B.
2.【解析】由题知，故复数的虚部为.故选：C.
3.【解析】当时，，当且仅当时等号成立，因为恒成立，所以，结合各选项知恒成立的一个充分条件为.
故选：D.
4.【解析】因为向量，所以向量在向量上的投影向量为：
，所以，解得.
故选：C.
5.【解析】由题知是的两个实数根，可得，解得，所以.
当时，，故A符合题意；
当时，二次函数的图象开口向上，由，解得或，所以，的零点为0和，且，故B符合题意，而C不符合；当时，二次函数的图象开口向下，的零点为0和，且，故D符合题意.
故选：C.
6.【解析】，①
②
①+②得，，则；
①-②得，，则.
所以.
故选：D.
7.【解析】由题可知，数列各项依次为：，当时，，
当时，，
所以成立的的最小值为35.
故选：A.
8.【解析】根据题目信息，不妨令，则的减区间即为所求，又，解得，所以函数的单调递减区间是.
故选：D.
二､多选题
9.【解析】依题意有，解得，所以，故AB正确；又最小值为，故C错误，
由于，所以，故D错误，
故选：AB.
10.【解析】当时，，易知单调递增，故A错误；
又，令，解得为的极小值点，，故B正确；
当时，，当时，，故的取值范围为，C正确；
当时，，设切点，则切线斜率，切线方程为切线过点，代入切线方程得，即，解得或有三条直线与曲线相切，故D错误；
故选：BC.
11.【解析】由题，因为，所以，所以，所以，故，解得，故A正确，B错误；
，故C正确，又因为：
，从而D正确；
故选：ACD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 13.-1 14.
12.【解析】根据基本不等式：，（当且仅当，即时取等号），即最大值为.
13.【解析】令，由为奇函数，得，即，于是，又为偶函数，
，用替换，得，
，即4为的周期.
根据，令，得，令，得，
又为偶函数，且，
，于是可得：.
又余2，
.
14.【解析】当时，，舍去；
当时，令，得，
设，得，令得，，
当时，；当时，，
所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去；
当时，得，
数形结合只需：，解得；
综上.
四､解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.【解析】
（1）如图所示，由题意可知：该酒杯的纵截面为等腰三角形，
又顶角，所以设水面半径为，则，
所以；
即：.
（2）图②的图象能反映第（1）问中的函数关系.
理由如下：
①杯子为“下窄上宽”形状，高度每增加一厘米显然容量增加变大，且增加速度越来越快，图象②与实际情况是一致的.（生活中的数学）
②由导数几何意义，图象切线斜率表示增加速率，可以发现图象②与的计算相符，所以图②的图象能反映第（1）问中的函数关系.（导数的几何意义）
③由（1）知，类比函数（必修一P66例1）的图象特征，图（2）基本与之吻合，故认为图②可以反映第（1）问中的函数关系.（数学的类比与迁移）
（注：考生能答出①②③中的任意一条或其它合理理由均建议给该问全分，但要体现“越来越快”“几何意义”“类比函数”等字样）
16.【解析】
（1）由题意，由余弦定理得，
又，则，
又由正弦定理：，解得.
（2）由（1）得，则，
，
则，
方法一：由，
解得（当且仅当时取等号），
又因为，故，
从而得.
方法二：在中，由正弦定理得，
即，
则
，
又，则，
，
即，
.
17.【解析】
（1）因为且，
所以①，
当可得，
当时②，
①-②得，
显然当时上式也成立，
所以.
（2）由题得，
，
则（1）-（2）得：
，
所以.
18.【解析】
（1）由题意得，得，
又，则，
所以.
由，得，由图知在上单调递增，
所以，
又，只可能，所以，
所以，
将图象上横坐标变为原来的倍，
得到，再向右平移个单位长度，
得到，即.
（2）由（1）知，
所以不等式可化为：
，
即对任意的恒成立，
令，则，且，
原不等式转化为恒成立，
解法一：
即对恒成立，
当时，易知不等式恒成立；
当时，，即对恒成立，
因为在上单调递减，故，
所以的取值范围为.
解法二：
设函数，
当时，对称轴在上单调递增，
要使，只需，解得；
当时，由于，故恒成立；
当时，对称轴，只需，解得；
综上所述，.
19.【解析】
（1）当时，由，得，
则；
从而有，故切线方程为：.
（2）由题，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，
当时，，令，
则，且，
所以，且，
即函数在上单调递增，于是在上单调递减；
因为，只需，即，
可得，整理可得，解得，
故不等式的解集是.
（3）由题，
存在两个不同的极值点，存在两个不同的变号零点，
所以，
令，
则，
令，
得，
则在上单调递减，注意到，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
，又，
且当时，，即在上恒有，
从而可得大致函数图像（如图所示），
显然当时，
存在两个不同的变号零点，
即的取值范围为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
C
C
D
A
D
题号
9
10
11
答案
AB
BC
ACD