黟县中学2024-2025学年度高二上学期期中数学测试卷（原卷版）-A4

这是一份黟县中学2024-2025学年度高二上学期期中数学测试卷（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线a，b的方向向量为a，b，平面α，β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是( )
A. 若a//b，则a⋅b=0B. 若b//β，则b⋅n=0
C. 若a⊥α，则a⋅m=0D. 若α//β，则m⋅n=0
2.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. 12a+12b−12c
C. −23a+23b+12cD. −23a+12b+12c
3.直线l过圆C：x+32+y2=4的圆心，并且与直线x+y+2=0垂直，则直线l的方程为( )
A. x+y−2=0B. x−y+2=0
C. x+y−3=0D. x−y+3=0
4.已知向量a=(1,2,−1)，b =(1,1,1)，则a在b方向上的投影向量是( )
A. (23,23,23)B. (−23,−23,−23)
C. ( 22, 2,− 22)D. (− 22,− 2, 22)
5.已知圆(x−1)2+(y−1)2=r2经过点P(2,2)，则圆在点P处的切线方程为( )
A. x+y−4=0B. x+y=0
C. x−y=0D. x−y−4=0
6.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1,−1)，则椭圆E的方程为( )
A. x218+y29=1B. x227+y218=1C. x236+y227=1D. x245+y236=1
7.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为(1,−1)，则椭圆C的离心率是( )
A. 12B. 22C. 32D. 2
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ/​/平面ABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是( )
A. 426B. 305C. 52D. 2 33
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若a⋅b>0，则a,b的夹角是锐角
B. 若OA，OB，OC是空间的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则A，B，C，D四点共面
C. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130∘，则直线l与平面α所成的角等于50∘
D. 若向量p=mx+ny+kz，(x,y,z都是不共线的非零向量)则称p在基底x,y,z下的坐标为m,n,k，若p在单位正交基底a,b,c下的坐标为1,2,3，则p在基底a−b,a+b,c下的坐标为−12,32,3
10.下列说法正确的是( )
A. 过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
B. 经过点(1,2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−3=0
C. 若方程x2+y2−2x+2y−m=0表示圆，则m> −2
D. 圆x2+y2=4上有且只有三点到直线l:x−y+2=0的距离都等于1
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC、A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有( )
A. EF //平面AA1B1B
B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 55
C. 若D是B1C1的中点，若M是B1A1的中点，则F到平面BDM的距离是2 55
D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为3 22
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设x，y∈R，向量a=(3,2,1)，b=(1,x,1)，c=(y,4,2)，且a⊥b，a/​/c，则|b+c|=_________．
13.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为 32，与直线x+y−1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程为_________．
14.平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x−1)2+(y−2)2=2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x−3y−5=0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则线段AB长度的最小值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，且∠APB=∠APC=∠BPC=π3,PA=3,PB=PC=2，M是PD的中点．
(1)若BD=mPA+nPB+pPC，求m+n+p的值；
(2)求线段BM的长．
16.(本小题15分)
（1）已知三角形的三个顶点是A4,0，B6,5，C0,3，边BC上的高所在直线为l，求直线l关于点B对称的直线l′的方程．
（2）已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5−3m,l2：2x+(5+m)y=8，若l1//l2，求m的值．
17.(本小题15分)
已知椭圆M:y2a2+x2b2=1a>b>0的离心率为 63，且短轴长为2 2．
（1）求M的方程；
（2）若直线l与M交于A,B两点，且弦AB的中点为P−12,−2，求l的一般式方程．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，若M、N分别为棱PD,PC上的点，O为AC中点，且AC=2OM=2ON．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值；
（3）求点N到平面ACM的距离．
19.(本小题17分)
已知以点C(3,4)为圆心的圆C被直线l：3x+4y−20=0截得的弦长为2 3．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过A(0,2)与圆C相切的直线方程；