安徽省黄山市黟县中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省黄山市黟县中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”.
故选：B.
3. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数运算法则和对数函数的单调性求解.
【详解】解：，
故选：C．
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，令，，求出的取值范围，可得答案.
【详解】解：由，由得单调递减区间为，可得，，
解得：，
故函数的单调递减区间是，
故选：A.
【点睛】本题主要考查复合三角函数单调区间的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6. 已知f(x)是定义在R上奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是（ ）
A. y＝x(x－2)B. y＝x(|x|＋2)
C. y＝|x|(x－2)D. y＝x(|x|－2)
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性，结合的函数解析式，即可求得时的解析式，再进行整理合并即可.
【详解】由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在上的奇函数得，
当x0，
f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝
即f(x)＝x(|x|－2)．
故选：.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，属基础题.
7. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，即可判断．
【详解】∵函数单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，
故选B．
【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
8. 已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的性质，结合一次函数与对数函数的性质求解．
【详解】令，
因为在上单调递增，
由题意可得在上是减函数，且，
∴，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ）
A. 若ac2>bc2，则a>bB. 若a>b，c>d，则a+c>b+d
C. 若a>b，c>d，则ac>bdD. 若a>b，则
【答案】AB
【解析】
【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.
【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对，
由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，
当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，
令a=﹣1，b=﹣2，则，D错.
故选：AB.
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D. 的图象的对称轴方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性、图象变换、对称轴等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A：，A正确；
B：，，所以在上不单调，所以B错误；
C：的图象向左平移个单位长度得到：
，为奇函数，C正确.
D：由，得，D正确.
故选：ACD
11. 关于函数 有下列结论，其中正确的是（ ）
A. 其图象关于y轴对称
B. 的最小值是
C. 当时，是增函数；当时，是减函数
D. 的增区间是，
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定函数奇偶性从而判断A，由单调性求得最小值判断B，根据复合函数的单调性，结合偶函数的性质判断CD即可．
【详解】对于A，函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，函数，当时，令，原函数变为，，原函数又是偶函数，所以函数的最小值是，故B正确；
对于C，函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，故C错误；
对于D，由C，结合图象关于y轴对称可得的增区间是，，故D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先把原式的角度变形，再利用诱导公式化简，计算即可得出答案.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解答本题的关键.
13. 若函数，则函数的值域是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，分和两种情况讨论，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，根据指数函数的性质，可得；
当时，则，根据指数函数的性质，可得，则，
所以函数的值域是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
14. 函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的零点，根据范围列不等式组即可．
【详解】令，则函数的零点为，，
所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，，
函数在上有且仅有个零点，
所以，解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）如果，求实数的取值范围．
【答案】（1）＝{x|x＜3或x≥4}
（2）（﹣∞，2）
【解析】
【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据不等式的性质求出集合B，结合集合交并补的运算即可得出结果；
(2)将A∪B＝A转化为B⊆A，分类讨论B＝∅和B≠∅时的情况，列出对应的不等式(组)，解之即可.
【小问1详解】
A＝{x|0＜x＜4}，m＝3时，B＝{x|3≤x≤7}.
∴A∩B＝{x|3≤x＜4}，且U＝R.
∴（A∩B）＝{x|x＜3或x≥4}.
【小问2详解】
∵A∪B＝A，∴B⊆A.
①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1
②B≠∅时，，解得1≤m＜2
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）
16. 已知，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由，得到，化简为齐次式，即可求解；
（2）由三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值，再结合三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解.
【详解】（1）由题意，因为，可得，
又由
.
（2）联立方程组 ，可得，
又由（1）知，
可得.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
17. 已知函数，．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若函数的最小值为-4，求m的值．
【答案】（1）
（2）-3
【解析】
【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集；
（2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值.
【小问1详解】
时，由得，
，，
因为，所以，解得，
所以原不等式的解集为．
【小问2详解】
因为，
令，因为，
所以，（当且仅当时取得等号）
则，，
①当，即时，在上单调递增，
当，即时，，
所以，解得，符合题意；
②当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
当，，
所以，解得，不合题意，舍去．
综上，的值为-3．
18. 墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观赏它.
（1）当时，观察者离墙多远时，视角最大？
（2）若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？
【答案】（1）当观察者离墙米处时，视角最大；（2）.
【解析】
【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，设观察者离墙米，则，求出和，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，进而得解；
（2）求得，可得出，由可得出，结合可得出的取值范围，进而得解.
【详解】（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且，
设观察者离墙米，则，且，，
所以，，
当且仅当，即当时，取最大值，此时视角最大；
（2）由（1）得，，
，
即，
当时，，则，解得或.
，所以，.
因此，观察者离墙的距离应在至米范围内.
【点睛】本题考查的知识要点：解直角三角形的应用，不等式组的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．
19. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励．记奖金为 (单位：万元)，销售利润为(单位：万元)．
（1）写出奖金关于销售利润的关系式；
（2）如果业务员老江获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奖励方案，可得分段函数解析式；
（2）确定，利用函数解析式，解方程即可得答案.
【小问1详解】
解：由题意知；
【小问2详解】
解：由题意知15＋2lg5(x－9)＝5.5，即lg5(x－9)＝2，
所以＝52，即x＝34，