湖北省黄冈中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学（实验班）试题（扫描版附答案）

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考试时间： 19：00—21：00
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在正方体中，为的中点，则
A． B． C． D．
1．【解答】解：.故选：
2.若方程表示一个圆，则的取值范围为
A． B． C． D．
2．【解答】解：若方程表示一个圆，则，方程可化为，所以，解得，且不等于0，所以或，则的取值范围为，，．故选：．
3．在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且，则与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
3.【解答】解：在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且，
设正方体的棱长为6，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则，0，，，6，，，6，，，6，，
，分别为，的中点，，，6，，
，3，，，6，，．
，，
与所成角的余弦值为．故答案为：．
4．已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是
A．B．C．D．
4.【解答】解：因为直线，即，令，解得，
可知直线过定点，同理可知：直线过定点，又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，半径的圆，因为圆的圆心，半径，所以的最大值是．
故选：．
5．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若，则的坐标是（ ）
A．，3， B．，4， C．，0， D．，3，
5．【解答】解：以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
，3，，即，，，0，．
故选：．
6.如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，
各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作
的概率为
A．B．C．D．
6.【解答】解：这条线不能正常工作的概率为；易知，，三个元件不能正常工作的概率分别为：，，，所以整个电子元件不能正常工作的概率为：，
故该元件能正常工作的概率为．故选：．
7.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，2，3，4，5，6，7，，记事件 “得到的点数为偶数”，记事件 “得到的点数不大于4”，记事件 “得到的点数为质数”，则下列说法正确的是
A．事件与互斥，与相互对立 B．
C．（A）（B）（C）但不满足，，两两独立
D．（A）（B）（C）且，，两两相互独立
7．【解答】解：由题意可知，事件所含的样本点为：，4，6，，事件所含的样本点为：，2，3，，事件所含的样本点为：，3，5，，对于选项，因为事件，都包含样本点2，3，所以，不互斥，故选项错误；对于选项，因为所含的样本点为：，2，3，4，6，，
所以，故选项错误；对于选项，，因为所含的样本点为：，所以，又，所以（A）（B）（C），又事件所含的样本点为：，所以，又，所以（A）（C），
所以事件，不独立，即，，两两独立错误，故选项正确，选项错误．故选：．
8．如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是△内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是
A． B． C． D．
8.【解答】解：在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是△内（包括边界）的动点，满足，如图建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，2，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故平面的法向量为，设，，，则，因为，所以，
又，所以，整理得，联立方程，则，可得，解得，当时，，1，，当时，，记的中垂面为，又是△内（包括边界）的动点，
因为在空间中满足，所以点的轨迹是平面与三角形的公共部分，
即点的轨迹为线段，则．故选：．
（注：本题可以转为平面直角坐标系）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，切点分别为，，则下列说法正确的是
A．若为圆上任意一点，则的最小值为 B．四边形的面积的最小值为4
C．当点在原点处时，直线的方程为 D．直线过定点
9.【解答】解：已知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为．
又点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，切点分别为，，
对于，故正确；
对于，四边形的面积
，要求四边形的面积的最小值，只需最小，又，所以，故正确；
对于，当点在原点时，，的中点坐标为所以以为直径的圆的方程为，即，把，与相减，可得直线的方程为，故错误；
对于，因为点为直线上一动点，所以可设，
，的中点坐标为
所以以为直径的圆的方程为，
即，与相减，
可得直线的方程为，即，由解得，所以直线过定点，故正确．故选：．
10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若是棱的中点，则平面截该正方体所成的截面是五边形
B．当三棱锥的体积取得最大值时，则的长度为
C．
D．当三棱锥的体积取得最大值时，二面角正切值的是
10.【解答】解：对于选项，如图，连接，若是棱的中点，
因此是棱的中点，根据正方体的性质可知，所
以，，，四点共面，即平面截该正方体所成的
截面是四边形，又，所以四边形为等腰梯形，故选项错误；
对于选项，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设．，若三棱锥的体积取得最大值，因此取得最大值，
，当且仅
当时，即时取等号，即，分别是棱，
的中点，因此，2，，，0，，，1，，
，2，，因此，，设点到直线的距离为，在△中，，，故选项正确；
对于选项，如图，设，因此，2，，
，，，，0，，，2，，
所以，，由
，所以，故选项正确；对于选项，由B选项可知E,F均为所在边的中点，易得角的正切值为2224=22.所以D对；故答案为：BCD.
11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ）
A． B． C． D．
11.【解答】解：因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白．
对于项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可，
则，故项正确；
对于项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球，所以，故项正确；
对于项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，
所以，故错误；
对于项，由，，，所以，故项正确．故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与相交于点，，则 ．
12.【解答】解：圆心到的距离为，．故答案为：．
13．已知，，均为圆柱表面上的动点，直线经过圆柱的中心，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 ．
13．【解答】解：，
为圆柱的中心，且，，均为圆柱表面上的动点，
，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，
且，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，
，的最大值为144．故答案为：144．
14．将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是 ．
14.【解答】解：是从上往下数第行的最大数，设的概率为．
最大数在第行的概率为：．在任意排好第行后余下的个数排在前行符合要求的排列的概率为：，，以此类推，．
当时，．故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知圆，直线过点．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若与圆相切，求的方程；
（3）若与圆相交于，两点，且△（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程．
15.【解答】解：（1）若经过原点，设方程为，由得，则的方程为．
若不经过原点，则可设的方程为，因为过点，所以，解得，
所以的方程为．故的方程为或．
（2）由圆，可得圆心，半径为2．因为点在圆上，轴，所以直线的方程为．
（3）因为△为直角三角形，且，所以，则圆心到的距离为；
由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即．
由，解得或，故的方程为或．
16.（15分）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为12，p，q，p