湖北省黄冈市黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 抛物线：的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线写成标准方程，即可根据准线方程的公式求解.
【详解】的标准方程为，故准线方程为，
故选：A
2. 已知直线，，则（ ）
A. 1B. C. 1或D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线平行的条件，列出a满足的方程以及不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知直线，，
故且，
解得，
故选：B
3. 已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的标准方程可得，结合选项和充分条件、必要条件的定义即可下结论.
【详解】由，得，
若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，
结合选项可知，曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“”.
故选：A.
4. 直线与圆相交于两点A，B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定圆的圆心与半径，求圆心到直线的距离，利用直线与圆相交弦长公式求解的值即可.
【详解】圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交弦长.
故选：B.
5. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程.
【详解】设，代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：(*)，
又的中点坐标为，所以，，
由(*)式可得，
又直线的斜率即直线的斜率，，
所以，而，
联立解得，，故椭圆的方程为：.
故选：A．

6. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得，
再结合条件及间的关系可得，即可求解.
【详解】如图，不妨设在第一象限，则①，又②，
由①②得到，又由题知，
所以，整理得到，
所以，则，即，所以双曲线的渐近线为，
故选：D.
7. 已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设直线的方程为，，进而结合向量关系，韦达定理得，再根据计算面积即可.
【详解】由题知直线的斜率不为，故设方程为，，
联立方程得 ，
所以，
因为，，
所以，即，
所以，，解得，
所以的面积为
故选：C
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】设的内切圆与分别切于点，利用切线长定理可得，结合椭圆的的定义可得，进而求得，结合已知可得，可求得，进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得的最大值.
【详解】设的内切圆与分别切于点，如图所示：
则．
又因为，联立，可得，
又因为
，
所以，所以，
因为的重心是三边中线的交点，所以在上，
由重心性质可得，因为，所以，解得，
所以，所以椭圆的方程为，
因为在椭圆上，所以，
所以，其中，
当，取最大值，最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于得到，从而求得，进而求得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线：：，则（ ）
A. 的长轴长为
B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同
D. 与的离心率互为倒数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.
【详解】曲线：整理得，
则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，
所以，离心率为，
故曲线的长轴长，故A错误；
曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，
所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C错误；：的渐近线方程为，故B正确；
又，所以与的离心率互为倒数，故D正确
故选：BD
10. 已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐一判断.
【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，即，解得，故A正确；
对于B，所以抛物线，所以焦点为，设，
因为为线段的中点，
所以，即，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
由的坐标可知，
所以的周长为，
当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立，所以周长的最小值为，D正确.
故选：ABD.
11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点分别为该双曲线左右顶点，点分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的面积为
B. 的内切圆与轴切于点，则
C. 记，的斜率分别为，，若点位于第一象限，则有
D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为，则两垂足距离最短为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据条件确定双曲线的方程，明确的坐标，结合双曲线的定义，余弦定理求焦点的面积，判断A的真假；利用双曲线的定义和三角形内切圆的性质，可判断B的真假；利用双曲线的标准方程，结合基本不等式，可判断C的真假；利用点到直线的距离公式，结合余弦定理可判断D的真假.
【详解】由，所以双曲线的方程为.
所以，所以顶点坐标为，，焦点，.
如图：
对A：当时，
由，
所以，故A错误；
对B：设的内切圆为圆，与，相切于，，
则，，.
又，故B正确；
对C：设，由题意，又因为为双曲线右支上的点，所以.
所以，，且，
所以.故C正确；
对D：因为，，且，
由余弦定理，
.
因为，所以（当时取等号），即.故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可
【详解】由题意可知，又，所以，
又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为.
故答案为：
13. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率.
【详解】根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即，
所以，即可得，所以；
离心率.
故答案为：.
14. 抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的性质得出直线过定点，进而确定点的轨迹方程，再根据两圆的位置关系求出的最大值.
【详解】在抛物线中，若，即，根据抛物线的性质可知直线过定点.
下面证明：设，.
因为，则，时，.
直线的斜率.
直线方程为，即.
把代入得.所以直线过定点，如下图：
因为，所以点是以为直径圆上的动点.
的中点坐标为，.
则点的轨迹方程为（）.
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去原点），点在圆上，圆的圆心为，半径.
两圆的圆心距.
的最大值为圆心距加上两圆的半径，即.
故答案为：8.
四、解答题：本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】(1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程；
(2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程.
【小问1详解】
经过点和的中垂线方程为：，
再与联立解得:,
此时可知该圆的圆心坐标为，
再由，可知该圆的半径为，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
当过点的直线的斜率不存在时，即直线方程为，
此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线与圆相切，
当过点的直线的斜率存在时，可设，
由直线与圆相切可知：，解得，
所以直线方程为，
综上可得：直线的方程为或.
16. 已知椭圆C方程为（）上顶点为，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程；
（2）利用弦长公式求解.
【小问1详解】
由题意，且，，得，
因此椭圆的方程为.
【小问2详解】
设椭圆左焦点为，直线的方程为，，，
联立直线方程与椭圆方程，
可得，解得：，
所以
17. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据抛物线的定义求出的值，进而得到抛物线的方程；
（2）先联立直线与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据数量积为列出方程，进而求出m的值.
【小问1详解】
点为抛物线上一点，且，根据抛物线的定义可得，解得，抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
不过原点直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，
设，联立得，得，
，解得.
由韦达定理，得，，
又，，
又两点P，Q在直线l：上，
故上式化，化简得，
把韦达定理代入，得，解得或，
直线l不过原点，，
故m的值为.
18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线的斜率分别为，且直线过定点．
①设和的面积分别为，求的最大值；
②证明为定值，并求出该定值．
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程；
（2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.
②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证.
【小问1详解】
依题意知：，解得，
所以椭圆C的方程为：
【小问2详解】
①依题意由（1）知，直线的斜率不为0．
设其方程为：，并与椭圆C联立方程组：
，得，
则，
，同理：，
所以．
令，则，
所以，
因为，则，
所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增．
所以，则.
所以的最大值是.
②证明：由①知.
所以
.
19. 已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为．
①求证：为定点；
②直线交直线于点，记，求证：为定值．
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程；
（2）①由题设有为，为，，，联立双曲线并应用韦达定理求得、，设，结合向量共线的坐标表示列方程求参数值，即可证；②设直线为，则，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线性关系的坐标表示有，即可证.
【小问1详解】
由题设，，则双曲线方程为．
【小问2详解】
①设，且，
的直线方程为，的直线方程为．
设，，联立直线与双曲线方程有，
化简得，由韦达定理知，
有，代入直线有．则
联立直线与双曲线方程，化简有，
由韦达定理知，有，代入直线有
设，，，
由得，
化简得，可得，则．
②设直线方程为，则有
联立方程组，化简得，则，
由知，由知，
．