辽宁省沈阳市东北育才学校高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单项选择题， 多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答题时间：120 分钟满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3
已知直线方程 x  3y  0 ，则该直线的倾斜角为（）
A. 150B. 120C. 60D. 30
y2  x2 
已知双曲线 m2
1的焦距为8 ，则该双曲线的渐近线方程为()
12
y   1 x
3
y  3x
y  3 x
3
y   3x
已知空间向量 AB  0,1, 0 ， AC  1,1, 1 ，则 B 点到直线 AC 的距离为（）
6
3
3
3
D.
2
3
在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑? ― ???中
?? ⊥ 平面???，?? ⊥ ??，且?? = ?? = ??，?为??的中点，则异面直线??与??夹
角的余弦值为()
A.2
3
B.3
4
C.3
3
D.2
4
点 P 在单位圆 x2  y2  1 上运动，则 P 点到直线 l：
2
1 3λ x  1 2λ y  7  λ  0 （λ 为任意实数）的距离的最大值为（）
3
A. 21
B. 6C. 31
D. 5
已知 A, B 分别是椭圆
x2  2
y
4
1的左、右顶点， P 是椭圆在第一象限内一点，若
PBA  2PAB ，则直线 PA 的斜率为()
11
A. B.
64
1
2
C.D.
43
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 y2  x2  1, y 1,10,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹
槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）
2
A. 1B. 2C. 3D.
x2y2
已知椭圆C :
a2b2
 1(a  b  0) 的左右焦点分别为 F1 (c, 0), F2 (c, 0) ，点 A, B
2
–––→––––→ –––→ –––→
在C 上，且满足 F1 A  2F2 B, F1 B  AB  4c
2
a
，则椭圆C
16
的离心率为（）
2 2
3
6
3
2
3
3
3
二、 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分， 共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分。
下列命题中，正确的有（）
空间中的非零向量?，?，?满足? ⊥ ?，? ⊥ ?，则有?// ?
若空间向量?、?与空间任意向量都不能构成一组基底，则?// ?
?
?,?,?
“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
若
?
+ ?,? + ?,? +
是空间的一组基底，则
也是空间的一组基底
2
若双曲线C : x
4
y2
5
 1， F1, F2 分别为左、右焦点，设点 P 在双曲线上且在第一象
限的动点，点 I 为PF1F2 的内心，点G 为PF1F2 的重心，则下列说法正确的是（）
双曲线C 的离心率为 3
2
点 I 的运动轨迹为双曲线的一部分
2
若 PF  2 PF ， PI  xPF  y PF ，则 y  x 
12129
存在点 P ，使得 IG ∥ F1F2
在平面直角坐标系Oxy 中，动点 P 在直线l : y  x 上的射影为点Q ，且
OP  PQ  1 ，记动点 P 的轨迹为曲线C ，则下列结论正确的是（）
曲线C 关于原点O 对称B. 点Q 的轨迹长度大于 2
1  OP  1
2
曲线C 围成的封闭区域的面积大于 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知方程
x2
3  m
2
y
 1 表示椭圆，则 m 的取值范围为
2m 1
已知圆C : x2  y2  4x  4y  4  0 ，直线l : x  y 1  0 ， Q 为l 上的动点．过点Q
作圆 C 的切线 QA, QB ， 切点为 A, B ， 当 AB  CQ 最小时， 直线 AB 的方程为
2
在三棱锥 P  ABC 中， AB  2
， PC 
2 ， PA  PB  2
3
2
， CA  CB  2 ，
且 PC  AB ，则二面角 P  AB  C 的余弦值的最小值为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（本小题满分 13 分）
已知圆 M : x2  y2  2x  4 y  a  0 ．
已知点 P 0,1 在圆 M 的外部，求 a 的取值范围；
若 a  4 ，过 A4, 0 作圆 M 的切线，求切线的方程．
（本小题满分 15 分）
如图，平行六面体 ABCD  A B C D 的所有棱长均相等，AD  DC ，∠DCC  60∘ ，
1 1 1 11
平面CC1D1D  平面 ABCD ，点 E ， F 满足 D1E  EC1 ， CF  2FC1 .
求证： AE / / 平面 BDF ；
求直线CD 与平面 BDF 所成的角θ的正弦值.
17．（本小题满分 15 分）
x2y2
已知椭圆 E : a2 + b2 =1(a > b > 0) ，设 P 为椭圆上一点，设 F1 , F2 分别为椭圆的左、右
焦点，且F PF  60∘ , S3 .
12PF1F23
（1）求b ；
2
（2）若 a =，斜率为 k 的直线l 经过右焦点 F2 ，且与椭圆 E 相交于 A、B 两点.
如果以线段 AB 为直径的圆经过左焦点 F1 ，求直线l 的斜率k .
18．（本小题满分 17 分）
如图，在平面四边形 ABCD 中， AB  AC  AD  2 ， BAC  90, DAC  60 ，
将△ACD 沿 AC 翻折至△ACP ，其中 P 为动点.
已知 PC  AB ，三棱锥 P  ABC 的各个顶点都在球 O 的球面上．
证明：平面 PAC  平面 ABC ；
求球 O 的半径
求二面角 A  CP  B 的余弦值的最小值.
19. （本小题满分 17 分）
22
已知椭圆x  y 过点 M 2,1 ，离心率为 3 .不过原点的直线
C : a2
1(ab0)
b22
l : y  kx  m 交椭圆C 于 A, B 两点，记直线 MA 的斜率为 k1 ，直线 MB 的斜率为 k2 ，
且 k k  1 .
1 24
求椭圆C 的方程；
证明：直线l 的斜率 k 为定值；
求△MAB 面积的最大值.