辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知，，，若四点共面，则实数 （ ）
A．B．C．D．
3．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
4．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（ ）
A．4B．C．D．2
5．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，四面体A-BCD，△ABD与△BCD均为等边三角形，点E、F分别在边AD、BD，且满足，，记二面角的平面角为，，则异面直线BE与CF所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意x，，（，），则（ ）
A．B．C．D．3
8．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
二、多选题
9．已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ）
A．不是空间的一组基底
B．不是空间的一组基底
C．向量的模是2
D．向量和的夹角为
10．已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为B．最大度数为60°
C．直线AB过定点D．的最小值为
11．如图，已知正方体的棱长为2，P为空间中一点，，则（ ）
A．当，时，异面直线BP与所成角的余弦值为
B．当，时，三棱锥的体积为
C．当，，时，有且仅有一个点P，使得平面
D．当，时，异面直线BP和所成角的取值范围是
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
C．为定值
D．的最小值为
三、填空题
13．点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ．
14．关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 .
15．已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为 .
16．如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是 .
①当且时,为等腰梯形;
②当,分别为,的中点时，几何体的体积为;
③当为中点且时，与的交点为,满足;
④当且时, 的面积.
四、解答题
17．（1）已知空间三点，，，设，，若与互相垂直，求k.
（2）已知三角形的顶点是，，.求三角形的面积，
18．在中，，
（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.
19．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
20．将棱长为1的正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，点在棱上．
(1)当为棱的中点时，求到平面的距离；
(2)当在棱上移动时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围．
21．已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为A、B.
（1）求四边形面积的最小值及此时点P的坐标；
（2）直线AB是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由.
22．已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．
参考答案：
1．B2．D3．C4．C5．C6．C7．A8．C
9．BD10．AD11．ABD12．ACD
13．14．15．216．①②
17．【详解】（1）,
若与互相垂直，则
即，
化简得
解得或
（2）,
,
,,
,
,
18．【详解】（1）设AB边的垂直平分线为l，
有题可知，，
又可知AB中点为，
l的方程为，即，
（2）设B关于直线的对称点M的坐标为；
则，解得，所以，
由题可知，两点都在直线AC上，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
所以AC所在直线方程为.
19．【详解】（1）由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，
，平面，平面，∥平面，，平面，
平面∥平面，平面，平面；
（2）
平面平面，平面平面，平面，则平面，
又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，
的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：
，则，
设平面的法向量为，则，取得，
又易得平面的一个法向量为，则，
又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
20．【详解】（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
可得，，．
设平面的法向量为，因为，所以所以
令，得，所以为平面的一个法向量，
点到平面的距离．
（2）因为点在边上，故可设，得，
所以．
所以．
令，可得，．
设，则，，
函数在区间上单调递减，
，．
所以的取值范围是．
21．【详解】（1）由题意，易知，，
∴
又，
∴，
要使四边形ACBP面积最小，则PC最小，当时，PC的长最小.
过点且与垂直的直线为
将其与联立解得此时点P的坐标为，
∴，
∴；
（2）设，又，则，中点坐标为，
因此以PC为直径的圆的方程为，
整理得，
∵，
∴这个圆也是四边形ACBP的外接圆，它与圆C方程相减，得公共弦AB方程：
；
，
令，
∴AB恒过定点.
22．【详解】（1）因为椭圆过点，，且AM的斜率为，
所以，
解得，，
所以椭圆E的方程为
（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
设，，
由，得，
，得，
则，，
因为，直线AD的方程为，
令，解得，
则，同理可得，
所以
为定值，
所以为定值，该定值为