黑龙江省牡丹江市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省牡丹江市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共22页。
考生注意
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径 0.5 毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知直线的斜率为，直线经过 ， 两点，且直线与垂直，则实数的值为
（）
B. C. D.
若平面的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线的方向向量为 ，则（）
若 ，则B. 若 ，则
C. 若 ，则D. 若 ，则
已知 ，点在 轴上，则 的最小值为（）
B. 5C. D.
圆 与圆 的位置关系为（）．
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
“ ”是方程“”表示双曲线的（）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A B.
C. D.
已知实数 满足方程，则的取值范围是（）
B. C. D.
已知椭圆的左、右焦点分别为， ，点 ， 在该椭圆上，四边形 是等腰梯形，且， ，则 的离心率为（）
B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
已知正方体的棱长为 1，则以下说法正确的是（）
直线与平面所成角的正切值为
二面角所成角的大小为
直线与直线所成的角为
点到平面 的距离为
以下四个命题中，正确的是（）
设，，动点满足，则动点的轨迹为双曲线
B 若曲线表示椭圆，则
方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
椭圆与双曲线有相同的焦点
数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点 ，距离之比是常数 的点的轨迹是圆.若两定点 ， ，动点满足，则下列说法正确的是（）
圆方程为B. 点的轨迹围成区域的面积为
C. 点的轨迹关于 对称D. 点 在圆内
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若双曲线 的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为 的渐近线方程为
．
已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则弦长取值范围是．
已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是.
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
已知直线经过点 ，求满足下列条件的直线方程：
直线与直线 平行：
直线在两个坐标轴上的截距相等.
已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上．
求圆 的标准方程；
过点 作圆的切线，求切线方程．
如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体， 底面，底面是边长为 2 的菱形， ， ，
（1）求证： ；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
已知双曲线 的离心率为为 上一点．
求 的方程；
过右焦点且倾斜角为 的直线交 于两点， 为坐标原点，求 的面积.
已知椭圆，左右焦点分别为， ，左右顶点为， ，离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
若是椭圆上的点，且以点 及焦点， 为顶点的三角形面积等于，求点的坐标：
表示
．
若直线 与椭圆交于 两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于 轴．设直线和的斜率分别为 ， ，用
牡丹江二中 2025—2026 学年度第一学期高二学年期中试题数学
考生注意
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径 0.5 毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知直线的斜率为，直线经过 ， 两点，且直线与垂直，则实数的值为
（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与垂直，可得直线的斜率为，再通过两点间的斜率公式列方程求出 m 即可.
【详解】由于直线的斜率为，且直线与垂直，所以直线的斜率为，
所以，解得 .
故选：D.
若平面的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线的方向向量为 ，则（）
若 ，则B. 若 ，则
C. 若 ，则D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断 A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断 B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断 C；根据法向量垂直则面面垂直可判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，则，解得，故 A 错误；
对于 B，由 ，得 ，则，解得，故 B 错误；
对于 C，由 ，得 ，则 或 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，得 ，则 ，故 D 正确.
故选：D.
已知 ，点在 轴上，则 的最小值为（）
B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 N 关于 轴对称点为 ，再利用对称性可求得的最小值.
【详解】设 ，则 N 关于 轴对称的点为 ，
所以 的最小值为；故选：B.
圆 与圆 的位置关系为（）．
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据 得到答案.
【详解】，即 ，圆心 ，半径， ，圆心为 ， ，
，故两圆外切.
故选：C.
“ ”是方程“”表示双曲线的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程表示双曲线，求得 或 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若方程表示双曲线，则满足 ，解得 或 ，
所以“ ”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件.
故选：A.
若椭圆的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
，
，
【详解】设弦的两个端点分别为， ，则
两式相减可得，
所以，
所以弦所在的直线方程为，即 .
故选：B.
已知实数 满足方程，则的取值范围是（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出的图像，设，问题转化为直线 和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得.
【详解】可知，
两边平方整理可得， ，
该方程表示的是圆心为 ，半径为的圆的右半部分曲线，如下图：
是通过定点 的直线，
设
，则
显然该直线通过 时，斜率 最大，最大斜率，当直线和圆相切于时，斜率 最小。
，即
，
由圆心 到直线 的距离是，解得
，即
.
于是
故选：A
已知椭圆的左、右焦点分别为， ，点 ， 在该椭圆上，四边形 是等腰梯形，且， ，则 的离心率为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据条件求得 ，由椭圆定义得 ，从而利用 求得离心率.
【详解】设椭圆 的半焦距为，依题意， ，又，如图，
设，四边形 为等腰梯形，
，
，
，即 ，；由椭圆定义知，
解得 .
故选：B.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
已知正方体的棱长为 1，则以下说法正确的是（）
直线与平面所成角的正切值为
二面角所成角的大小为
直线与直线所成的角为
点到平面 的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量夹角的余弦公式与点到平面距离公式逐项计算即可得.
【详解】以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有 、、 、、 、 、 、 ；
对 A：由轴平面，则平面的法向量可为 ，又 ，则，
设直线与平面所成角为 ，则，
则，故 A 正确；
对 B： 、 ，
设平面的法向量为，
则有，取 ，则 ，设二面角所成角的大小为，
又平面 的法向量为 ，
则，
故二面角所成角的大小为，故 B 正确；
对 C： 、 ，设直线与直线所成的角为
则
，
故直线与直线所成的角为，故 C 正确；对 D： 、
、
，
设平面 的法向量为，
则有，取 ，则 ，
则点到平面 的距离，故 D 错误.
故选：ABC.
以下四个命题中，正确的是（）
设， ，动点满足，则动点的轨迹为双曲线
若曲线表示椭圆，则
方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
椭圆与双曲线有相同的焦点
【答案】CD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义判断 A；由曲线方程表示椭圆列不等式求参数范围判断 B；解一元二次方程，结合双曲线、椭圆离心率的性质判断 C；根据方程直接写出椭圆、双曲线的焦点坐标判断 D.
详解】对于 A，由 ，
结合双曲线的定义易知动点 P 的轨迹为双曲线的右支，故 A 错误；
对于 B，由曲线为椭圆，则，解得 且，故 B 错误；
对于 C， ，可得 或 ，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故 C 正确；
对于 D，椭圆中，则焦点为，双曲线中，则焦点为，
即焦点相同，故 D 正确.
故选：CD.
数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点 ，距离之比是常数 的点的轨迹是圆.若两定点 ， ，动点满足，则下列说法正确的是（）
圆方程为B. 点的轨迹围成区域的面积为
C. 点的轨迹关于 对称D. 点在圆内
【答案】ABC
【解析】
【分析】设点 ，结合两点间距离公式化简即可得 A；利用圆的面积公式可得 B；由直线过圆心可得 C；将点代入圆的方程即可得 D.
【详解】对 A：设 ，则有 ，
化简得 ，故点的轨迹是圆 ，故 A 正确；对 B：由点的轨迹是圆 ，
则点的轨迹围成区域的面积为 ，故 B 正确；
对 C：由点的轨迹是圆 ，圆心为 ，
又直线 过点 ，故点的轨迹关于 对称，故 C 正确；对 D： ，故点在圆外，故 D 错误.
故选：ABC.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若双曲线 的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为 的渐近线方程为
．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的性质得到 ，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程.
【详解】双曲线 ，则 ，
又右支上一点到右焦点的距离最短为，即 ，所以，又 ，则 ，
所以双曲线 ，则双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为：
已知直线与圆 相交于 ， 两点，则弦长的取值范围是．
【答案】
【解析】
【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围.
【详解】由直线 l： ，得直线 l 恒过定点 ，
由圆 C：，得 ，圆心 ，半径为，又 ，即点 在圆内，
当直线 l 经过圆心 时， ，
当直线 时， ，则，所以的取值范围是.
故答案为：.
已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为：
.
故答案为：
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
已知直线经过点 ，求满足下列条件的直线方程：
直线与直线 平行：
直线在两个坐标轴上截距相等.
【答案】（1）；
或
.
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行关系可假设直线 ，代入点 即可；
（2）分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点 坐标可求得结果.
【小问 1 详解】
设直线 ，
过点 ，
，解得：，
直线方程为 .
【小问 2 详解】
若直线过坐标原点，则直线方程为： ，满足题意；若直线不过坐标原点，可设直线 ，
，即直线 ；
综上所述：直线方程为： 或 .
已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上．
求圆 的标准方程；
过点 作圆的切线，求切线方程．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆心 ，通过半径求得 ，进而可求解：
（2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意设圆心 ，
因为，即，
解得 ，即 ，半径，
所以圆 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
当切线的斜率不存在时，则切线方程为，
此时圆心 到直线的距离为 ，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过 的切线方程为 ，
即
，
，即
，
则圆心 到切线的距离，解得 ，此时切线的方程为：
综上所述：过的切线方程为 或 ．
如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为 2 的菱形，， ，
（1）求证： ；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得 ，由 ，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系 ，利用空间向量法求面面角即可．
【小问 1 详解】
直四棱柱中， ，则点 F 在平面 内，
因为 平面，且 平面，所以 ，又底面为菱形，所以 ，
又
，
平面，所以 平面 ，
平面，所以 ；
【小问 2 详解】
因为 平面， 平面，
所以 ，又， 平面，所以 平面，又 平面，所以 ，
所以底面为正方形，所以 ，由条件可求出，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则， ， ，所以
则
，令
设平面的一个法向量为 ，
，
因为 平面，所以 是平面的一个法向量；设平面与平面的夹角为 ，
则
所以平面与平面的夹角余弦值为．
已知双曲线 的离心率为为 上一点．
求 的方程；
过 的右焦点且倾斜角为 的直线交 于两点， 为坐标原点，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件建立关于 的方程组解出即可；
（2）设，根据条件写出直线 的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的
坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出 的高，代入公式求解即可.
【小问 1 详解】
由题得:，
解得 ，
所以双曲线 的方程为：.
【小问 2 详解】
设 ，如图所示：
由题得直线的方程为 ，
联立得：，
整理得： ，
所以 ，
所以
所以
又因为点 到直线的距离为：
，
所以 的面积为.
已知椭圆，左右焦点分别 ， ，左右顶点为， ，离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
若是椭圆上的点，且以点及焦点， 为顶点的三角形面积等于，求点的坐标：
表示
．
若直线 与椭圆交于 两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于 轴．设直线 和 的斜率分别为 ， ，用
【答案】（1）
或
或
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程，求出 即可.
首先求出， 的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解；
联立直线 与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出.
【小问 1 详解】
由椭圆的离心率为，得，解得 ，
由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则 ，所以椭圆的方程为.
【小问 2 详解】
因为椭圆的方程为，所以，则 ，，所以
设 ，则，所以，
或
；
或
或
又 ，所以 ，所以点的坐标为
【小问 3 详解】
由，消去 整理得 ，
设点 ，则，而 ，依题意 ，
所以
.