①寒假复习-第10讲 带电粒子的临界和多解问题（教师版）2025年高二物理寒假衔接讲练 (人教版)

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知识点1：带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
临界点常用的结论：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
知识点2：带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
强化点一 放缩圆模型
【典例1】一匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子在纸面内从a点垂直于射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为、电荷量为。则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
又有
设粒子运动轨迹所对的圆心角为，则运动时间为
可知，越大，运动时间越长，当粒子运动时间最长时，运动轨迹如图所示，可知越大则越小，而
即当圆弧经过c点时最大，此时最大
由几何关系有
解得
联立可得
故选B。
【变式1-1】（多选）如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是（ ）
A．若该粒子的入射速度为v＝ ，则粒子一定从AD边射出磁场
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
【答案】BD
【详解】A．若该粒子的入射速度为v＝ ，则由
可得
由几何关系可知，粒子将从CD边的中点射出磁场，故A错误；
BC．由
可得
即粒子在磁场中的运动半径越大，速度就越大；由几何关系可得，当粒子的轨迹与AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子的轨迹半径为
所以粒子的最大速率为
故B正确、C错误；
D．由
可得粒子在磁场中的运动周期
即运动周期与轨迹半径、粒子速度都无关；所以粒子在磁场中的运动时间取决于运动轨迹所对应的圆心角，所以粒子从AC边射出时运动时间最长，因为此时运动轨迹对应的圆心角为，其在磁场中的运动时间为
故D正确。
故选BD。
【变式1-2】（多选）如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=a。在O点放置一个电子源，可以向OC方向发射速度不同的电子，电子的比荷为，发射速度为，对于电子进入磁场后的运动（不计电子的重力），下列说法正确的是（ ）
A．电子不可能打到A点
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
C．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
D．在AC边界上有一半区域有电子射出
【答案】CD
【详解】A．电子带负电，由左手定则可知，电子垂直射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
由题意可知，发射速度为
代入可得则电子的轨道半径
当电子速度
时，轨道半径
此速度方向与OC夹角为60°入射时，粒子恰好从A点飞出，如图所示
A错误；
BC．电子在磁场中做圆周运动的周期
在磁场中的运动时间
电子在磁场中转过的圆心角越大，电子的运动时间越长，电子运动轨迹的长度为
相同电子运动时间相同，由于r不同，则电子的运动轨迹不同，电子的运动时间长，其运动轨迹线不一定长，B错误，C正确；
D．当电子沿方向射入电场
时，轨道半径
时，电子的运动轨迹是以A为圆心的圆弧，由于AO长度为a，∠A=60°，则AC的长度为2a，电子恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有电子射出，轨迹如图所示
D正确。
故选CD。
强化点二 “旋转圆”模型
【典例2】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为（ ）
A．1∶2B．2∶1C．∶1D．1∶1
【答案】D
【详解】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由
可知
R＝
又
即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。
若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点M离P点最远时，则
MP＝2R1
同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子在磁场边界的出射点N离P点最远时，则
NP＝2R2
由几何关系可知
R2＝Rcs 30°＝R
则
由轨迹图可知，这两种情况下带电粒子的对应的圆心角相等，故带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为1:1，ABC错误，D正确。
故选D。
【变式2-1】（多选）如图所示，等腰直角三角形MON的直角边MO长度为L，在MON区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三个相同的带电粒子从M点沿MO方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1：t2：t3=3：3：2，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能带正电
B．三个粒子速度的大小关系可能是v2