河南省2026届高三上学期期中联考数学试卷（含答案）

这是一份河南省2026届高三上学期期中联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−11x+240)上一点，且点M的纵坐标为1，则当p变化时点M到焦点F的距离的最小值为( )
A. 12B. 1C. 22D. 2
4.已知一组数据为2,4,6,5,m,4,3，则“3≤m≤5”是“这组数据的中位数为4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若复数 n−i1+in∈N∗的实部与虚部分别为an,bn，则数列anbn的前100项和为( )
A. 4900B. 5000C. 4950D. 5050
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CE=3EC1，则BE与平面BDD1B1所成角的正弦值为( )
A. 3 25B. 35C. 25D. 2 25
7.若圆C:(x+4)2+(y−m)2=4上恰有两个点到直线l:3x−4y+m=0的距离为1，则整数m的值共有( )
A. 3个B. 5个C. 6个D. 7个
8.设定义在R上的函数f(x)满足f(1)=e且f(x)f(−x)=x4，则下列结论不可能成立的是( )
A. f(x)的极大值为4e2B. 函数g(x)=f(x)ex为奇函数
C. f(x)的极小值为0D. f(x)在(0,+∞)上单调递增
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在▵ABC中，AB=2,AC=3，过点A作BC的垂线，垂足为H，则( )
A. 当∠BAC=π3时，BC= 7
B. 当∠BAC=π3时，AH=3 217
C. 当AB⋅AC=0时，BH=513BC
D. 当AB⋅AC=0时，AH=913AB+413AC
10.现有一个圆锥的底面半径为3，高为9，一个圆柱的底面半径为4，高为6，则( )
A. 圆柱的体积与圆锥的体积的比值大于4
B. 圆柱的母线长与圆锥的母线长的比值为 105
C. 圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值小于169
D. 圆柱的外接球的体积与圆锥的外接球的体积相等
11.已知椭圆C:x2m+y2=m的长轴长是离心率的两倍，Px0,y0为C上任意一点，且原点O为C的对称中心，则( )
A. m=12B. x0+y0的最小值为−3 34
C. x0y0的最大值为 28D. 线段OP的中垂线不可能经过C的顶点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.3lg52+lg53.125=
13.若将5本不同的文学杂志与3本完全相同的《红楼梦》分给4位同学，每位同学2本，且每位同学至多得1本《红楼梦》，则不同的分法共有 种.
14.在数列an中，a1=0，an+1=2an−3n−n2+2n+1，则an= ，数列{(−1)nan}的前2n项和S2n= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数的部分图象如图所示，|OM|=|ON|=π8．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x∈[0,2π5]，求函数g(x)= 2f(x)−f(π8+x)的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥平面PAD，且PA= 2，AD=3，PD= 11．

(1)证明：BC//平面PAD．
(2)证明：平面PBC⊥平面PAB．
(3)若二面角B−PC−D的余弦值为− 3311，求棱AB的长．
17.(本小题15分)
一个箱子中装有标号为1∼6的6个小球，这些小球除了标号不同，其他特征完全相同，现从这个箱子中有放回地取球若干次，每次抽取1个小球．
(1)若抽取3次，求第3次才取到3号小球的概率；
(2)若抽取3次，求2号小球至少被抽取1次的概率；
(3)若一旦抽到3号小球就停止取球，在停止取球时抽取的总次数不大于4的前提下，记停止取球时已取球的次数为Y，求Y的数学期望．
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2 3，且C的焦点到渐近线的距离为 2．
(1)求C的方程．
(2)设C的右顶点为D，直线AB:y=kx+m与C交于点A,B(A,B都异于点D)，且DA⊥DB，证明：直线AB过定点Q．
(3)若动直线l过(2)中的定点Q，且l与C的左､右支分别交于点M,N，与直线x=−13交于点P，证明：|MP|⋅|NQ|=|MQ|⋅|NP|．
19.(本小题17分)
若函数ω(x)的导函数在(0,+∞)上单调递增，则称ω(x)为全正凹函数.设函数f(x)=xlnx+e6x3−e2x2+e2−1x−e6，g(x)=xlnx−1+ex−ex．
(1)求g(x)的单调区间．
(2)证明：f(x)与g(x)均为全正凹函数．
(3)当a≥1时，证明：aex+x2≥f(x)+e+2x．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.A
5.C
6.D
7.C
8.B
9.ABD
10.BCD
11.AC
12.2
13.240
14.an=2n+n2−3n
；22n+13−32n+14+2n2+n+112
15.解：(1)观察图象得A=1，|MN|=|MO|+|ON|=π4，函数f(x)的最小正周期2πω=4⋅π4，解得ω=2，
由f(π8)=1，得2⋅π8+φ=2kπ,k∈Z，而−π0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0
由题有|cb| a2+b2=b= 2，又c= 3，所以a2=c2−b2=3−2=1，
所以C的方程为x2−y22=1．
(2)证明：设Ax1,y1,Bx2,y2，
由y=kx+mx2−y22=1，消y得2−k2x2−2kmx−m2−2=0，
则，
x1+x2=2km2−k2,x1x2=−m2+22−k2，
因为DA⊥DB，D(1,0)，所以，
则kx1+mkx2+m+x1x2−x1+x2+1=0，即k2+1x1x2+(km−1)x1+x2+m2+1=0，
所以k2+1−m2+22−k2+(km−1)2km2−k2+m2+1=0，整理得到3k2+2km−m2=0，
即(3k−m)(k+m)=0，所以k=−m或k=13m，
当k=−m时，直线方程为y=kx−k=k(x−1)，直线过点D(1,0)，不合题意，
当k=13m时，直线方程为y=kx+3k=k(x+3)，直线过定点Q(−3,0)．
(3)证明：由(2)知Q(−3,0)，设M(x3,y3),N(x4,y4)．
当l的斜率为0时，M(−1,0)，N(1,0)，P(−13,0)，此时|MP|=23，|NQ|=4，|MQ|=2，|NP|=43，
所以|MP|⋅|NQ|=|MQ|⋅|NP|=83;
当l的斜率不为0时，设l: x=ty−3，
由x=ty−3x2−y22=1，消x得2t2−1y2−12ty+16=0，
则， 2t2−1≠0，且y3+y4=12t2t2−1， y3y4=162t2−1，
所以ty3y4=43(y3+y4).
因为|MP||NP|−|MQ||NQ|=−13−x3x4+13−x3+3x4+3=−13−ty3−3ty4−3+3−ty4−3+13ty3−3+3x4+13(x4+3)
=(83−ty3)ty4−(ty4−83)ty3(x4+13)(x4+3)=2t[−ty3y4+43(y3+y4)](x4+13)(x4+3)=0，
所以|MP||NP|=|MQ||NQ|，即|MP|⋅|NQ|=|MQ|⋅|NP|．

19.解：(1)因g(x)=xlnx−1+ex−ex，所以函数的定义域为(0,+∞)．
所以g′(x)=lnx−1+x⋅1x+ex−e=lnx+ex−e，因为y=lnx与y=ex在(0,+∞)均单调递增，
所以g′(x)在(0,+∞)单调递增，且g′(1)=0，当00，令t=ex2−ex+1=e(x−12)2+1−e4>0，所以m′(x)>0，
所以m(x)=f′(x)在(0,+∞)单调递增，所以f(x)为全正凹函数．
故f(x)与g(x)均为全正凹函数．
(3)证明：当a≥1时，因为a≥1，且ex>0，所以aex≥ex，因此只需证ex+x2≥f(x)+e+2x．
即ex+x2≥xlnx+x+e6x3−e2x2+3e2x−e6
令tx=x−ln x−1，则t ′x=1−1x=x−1x，所以当，当，
所以txmin=t(1)=0，所以tx=x−ln x−1⩾0，即x≥lnx+1，进而x2≥xlnx+x．
所以只需证明ex≥e6x3−e2x2+3e2x−e6即可．
再令y=ex−e6x3+e2x2−3e2x+e6，所以y′=ex−e2x2+ex−3e2，
令ux=y ′，则，令vx=u ′x，则．
当0