2025-2026学年浙江省绍兴市元培中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年浙江省绍兴市元培中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（有答案和解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次函数中，其图象的对称轴为x=−2的是( )
A. y=2x2−2B. y=−2x2−2C. y=2(x−2)2D. y=(x+2)2
2.已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断
3.下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是( )
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 瓜熟蒂落D. 夕阳西下
4.将二次函数y=x2−2x+3化为y=(x+m)2+h的形式，结果为( )
A. y=(x−1)2+4B. y=(x+1)2+4C. y=(x−1)2+2D. y=(x+1)2+2
5.已知点A(3,y1)，B(103,y2)是抛物线y=(x−2)2+3上的两点，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1y2C. y1=y2D. 无法确定
6.如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是y=2(x−2)2+1，那么原抛物线的表达式是( )
A. y=2(x−3)2+3B. y=2(x−1)2+3
C. y=2(x−1)2−1D. y=2(x−3)2−1
7.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+2x+74(x>0)，则水流喷出的最大高度是( )
A. 3mB. 2.75mC. 2mD. 1.75m
8.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下B. 二次函数的最小值是−2
C. 当x>−3时，y随x的增大而增大D. 抛物线的对称轴是x=−52
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1.有下列5个结论：①abc>0；②a−b+c0；④3a+c>0；⑤n(an+b)>a+b，(n为实数且n≠1).其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=45∘，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转45∘至AD′，连接BD′.若AB=2，则BD′的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2−1D. 2− 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知二次函数y=2x2−3x+m−1经过原点，则m的值是 .
12.一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，4个是黄球，2个是白球，3个红球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 .
13.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转50∘得到Rt△AB1C1，∠C=90∘，若∠BAC1=
20∘，则∠B= 度.
14.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m.因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为______m.
15.飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数表达式是s=60t−32t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 s.
16.如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3,−4).在y轴右侧的抛物线上存在点Q，使点Q到直线BC的距离为3 2，则点Q的坐标 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数y=x2−2x−3.
(1)求此函数图象的顶点坐标和与x轴的交点坐标；
(2)当x取何值时，抛物线在x轴的上方？
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
18.(本小题8分)
已知函数y=(x+1)2−4，请按要求填空或解答问题：
(1)函数图象的对称轴是直线______，顶点坐标是______.
(2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值yd时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当ra+b(n为实数且n≠1)，
故⑤正确．
故选：C.
根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对①进行判断；根据x=−1时，y>0，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得x=2时，y0可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10.【答案】D
【解析】解：在AC上截取AE=AB，作EF⊥BC于F，连接DE，如图，
∵∠C=45∘，AB=2，∠ABC=90∘，
∴AB=BC=2，∠BAC=45∘，AC= AB2+BC2=2 2，
∴CE=2 2−2，
∵∠C=45∘，
∴EF=CF，
∴EF2+CF2=2EF2=(2 2−2)2，
∴EF=FC=2− 2，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转45∘至AD′，
∴∠D′AD=45∘，AD=AD′，
∴∠BAC=∠D′AD=45∘，
∴∠D′AD−∠BAD=∠BAC−∠BAD，
即∠BAD′=∠DAE，
∵AE=AB，
∴△AED≌△ABD′(AAS)，
∴BD′=DE，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=[2−(2− 2)−BD]2+(2− 2)2=( 2−BD)2+(2− 2)2，
∴当BD= 2时，DE2有最小值，即DE有最小值2− 2，
则BD′的最小值为2− 2.
故选：D.
在AC上截取AE=AB，作EF⊥BC于F，连接DE，求出EF=FC=2− 2，证明△AED≌△ABD′，得出BD′=DE，求出DE最小值即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：由条件可知m−1=0，
∴m=1，
故答案为：1.
把(0,0)代入解析式，即可得到m−1=0，由此可求出m的值．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，理解图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，3个红球，4个是黄球，2个是白球，
∴从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是39=13，
故答案为：13.
直接利用概率公式求解即可．
此题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
13.【答案】60
【解析】解：∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转50∘得到Rt△AB1C1，
∴∠CAC1=50∘，
∵∠BAC1=20∘，
∴∠BAC=30∘，
∵∠C=90∘，
∴∠B=90∘−30∘=60∘.
故答案为：60.
首先利用已知条件和旋转的性质求出∠BAC，再根据三角形内角和定理得∠B从而得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】165
【解析】解：如图：
以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A(5,0)，C(0,5)，
设抛物线解析式为：y=ax2+5，
把A(5,0)代入，得a=−15，
所以抛物线解析式为：y=−15x2+5，
当x=3时，y=165，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为165m.
故答案为165.
根据二次函数的图象和性质先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意列出函数解析式进而求解．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
15.【答案】20
【解析】解：s=60t−32t2=−32(t−20)2+600，
∴飞机着陆后滑行的最长时间为20s，
故答案为：20.
要求飞机从着陆至停下来滑行的最长时间，即求出函数取得最大值时，自变量的值即可．
本题主要考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．
16.【答案】(6,5)，(2,−3)，(3,−4)
【解析】解：抛物线的顶点式为y=(x−3)2−4，
即y=x2−6x+5，
当x=0，则y=02−6×0+5=5，
∴C(0,5)，
当y=0，x2−6x+5=0，解得x1=1，x2=5，
∴A(1,0)，B(5,0)，
设直线BC的表达式为y=mx+n，
把B(5,0)，C(0,5)代入可得5m+n=0n=5，
解得m=−1n=5，
∴直线BC的表达式为y=−x+5，
∵OB=OC=5，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB=45∘，
设点Q的坐标为(m,m2−6m+5)(m>0)，
过点Q作QH⊥BC于点H，QP//y轴交BC于P点，则QH=3 2，
∵∠QPH=∠OCB=45∘，
∴△QPH是等腰直角三角形，
∴PQ= 2QH= 2×3 2=6，
设点Q的坐标为(m,m2−6m+5)(m>0)，则P(m,−m−5)，
∴PQ=|m2−6m+5−(−m+5)|=|m2−5m|=6，
当m2−5m=6，
解得m1=6，m2=−1(舍去)，
此时Q点的坐标为Q(6,5)；
当m2−5m=−6，
解得m1=2，m2=3，
此时Q点的坐标为(2,−3)或(3,−4)，
综上所述，点Q的坐标为(6,5)，(2,−3)，(3,−4).
故答案为：(6,5)，(2,−3)，(3,−4).
先利用顶点式得到抛物线解析式，再确定点A、点B、点C的坐标，接着利用待定系数法求出直线BC的表达式为y=−x+5，然后过点Q作QH⊥BC于点H，QP//y轴交BC于P点，则QH=3 2，所以PQ= 2QH=6，设点Q的坐标为(m,m2−6m+5)(m>0)，则P(m,−m−5)，则PQ=|m2−6m+5−(−m+5)|=|m2−5m|=6，最后解方程求出m，从而得到Q点的坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
17.【答案】顶点坐标为(1,−4)，与x轴的交点坐标为(3,0)，(−1,0)；
当x3时，抛物线在x轴的上方；
当x>1时，y随x的增大而增大
【解析】(1)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴此函数图象的顶点坐标为(1,−4)，
令y=0，则0=x2−2x−3，
解得：x1=3，x2=−1，
∴此函数图象与x轴的交点坐标为(3,0)，(−1,0)；
(2)∵抛物线解析式y=x2−2x−3的开口向上，与x轴的交点坐标为(3,0)，(−1,0)，
∴当x3时，抛物线在x轴的上方；
(3)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大．
(1)通过将函数解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再令y=0，求得x1=3，x2=−1，从而可得与x轴的交点坐标；
(2)根据抛物线与x轴的交点可求得x的范围；
(3)根据抛物线开口方向与对称轴，确定当y随x的增大而增大时x的范围．
本题考查了把y=ax2+bx+c化成顶点式，求抛物线与x轴的交点坐标，图象法解一元二次不等式，y=ax2+bx+c的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
18.【答案】x=−1，(−1,−4)；
见解析；当−3