山东济南槐荫区2025—2026学年八年级数学第一学期期中考试试题（含答案）

这是一份山东济南槐荫区2025—2026学年八年级数学第一学期期中考试试题（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
第 Ⅰ 卷 (选择题 共 40 分)
一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词 “面”。在下列实数中，属于 “面” 的是（ ）
A. 13 B. 0.3 C. 2 D. 0
2.下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
3.如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A. (−2,4) B. (1,2) C. (−2,−3) D. (2,−3)
4.△ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A=∠B+∠C B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. a2=(b+c)(b−c) D. a=5，b=4，c=41
5.下列说法正确的是（ ）
A. 9 的平方根是 3 B. 负数没有立方根 C.16的算术平方根是 2 D. （﹣3）2的结果是−3
6.对于一次函数y=−2x+5，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的自变量每增加 1，函数值增加 2
B. 函数的图象与x轴交于点(5,0)
C. 函数的图象向下平移 5 个单位长度得到y=−2x的图象
D. 若点A(−2,y1)、点B(3,y2)在此函数图象上，则y10；③函数y=ax+d的图象不经过第一象限；④3(a−c)=d−b；⑤x的值每增加 1，y2−y1的值增加d−b。其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③⑤
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题 (本大题共 6 个小题。每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。)
11.−8的立方根是________。
12.点A(m+3,2m+4)在y轴上，则点A的坐标为________。
13.某校选拔 14 名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示：
则这组数据的下四分位数为________。
14.如图，一次函数y=kx+b与y=−x+4的图象相交于点P(m,1)，则关于x、y的二元一次方程组x+y=4−kx+y=b
的解是________。
15.若直角三角形的两边长为a、b，且满足(a−3)2+∣b−4∣= x−2025+2025−x，则该直角三角形的第三边长为________。
16.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=4，AC=6，点E、点F分别在BC、AC边上，且AF=CE，则AE+BF的最小值为________。
三、解答题 (本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分 6 分)计算：12÷3−(5)2+32×12。
18.(本小题满分 6 分)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在 “勾股” 章节中记载了一道 “折竹抵地” 的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？” 译文为：一根竹子，原高一丈 (1 丈 = 10 尺)，竹子折断后，竹梢触地点离竹根 3 尺 (BC=3尺)。问折断处离地面多高？
19.(本小题满分 6 分)如图，在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中 (小正方形顶点称为格点)，△ABC的三个顶点均在格点上。
(1) 请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使△ABC顶点A的坐标为（﹣2，4）；
(2) 在 (1) 的平面直角坐标系中，直接写出△ABC其他两个顶点的坐标；
(3) 在 (1) 的平面直角坐标系中，画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1。
20.(本小题满分 8 分)如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）。
(1) 求直线l的函数表达式；
(2) 求△AOB的面积。
21.(本小题满分 8 分)如图，OA=OB。
(1) 点A表示的数是______，点A表示的数______−2.5(填 “>”、“”“=” 或 “a)，完成勾股定理的推导过程 (用图 1 中的字母表示)；
证明：∵大正方形的面积有两种求法：一种是大正方形面积为c2，另一种是 4 个直角三角形和中间小正方形的面积和为__________
∴根据面积相等得__________，整理得：a2+b2=c2。
(2) 如图 2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3) 如图 3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长度。
24.(本小题满分 10 分)函数在生活中无处不在。图 1 展示了两种水杯的外形，1 号水杯为厚底圆柱形，2 号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图 2 描述的是 1 号水杯中水的体积V1（ml）与水面到水平桌面的距离h（cm）的函数图象；
(1) 求V1与h之间的函数表达式；(不需要写出自变量的取值范围)
(2) 2 号水杯中水的体积V2（ml）与水面到水平桌面的距离h（cm）之间的关系如下表所示。在图 2 中，画出V2与h之间的函数图象，并直接写出函数表达式；(不需要写出自变量的取值范围)
(3)求出当h（cm）为多少时，1 号杯和 2 号杯中水的体积相差 10ml？
25.(本小题满分 12 分)【先导问题】(1) 如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)、点B(1,3)，则AB的长度为____。
【提炼模型】(2) 某数学兴趣小组根据先导问题思考：已知平面直角坐标系中任意两点的坐标M(x1,y1)、
N(x2,y2)，是否可以用相同的方法求出MN的长度？
解：如图 2，过点N、M分别作平行于x轴、y轴的直线交于点C，则点C的坐标为(x1,y2)，那么MC=y1﹣y2，
NC=x1﹣x2.
在Rt△MCN中，根据勾股定理得：MN=NC2+MC2=(x1﹣x2)2+（y1﹣y2）2
在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式。若点A(a,1)、点B（3，2），则AB=______(用含a的代数式表示)。
反之，若MN=(x1﹣x2)2+（y1﹣y2）2，则点M、N的坐标可以是(x1,y1)、(x2,y2)。
【识别模型】(3) 根据你对两点间距离公式的理解，完成下列问题：
①代数式(4﹣x)2+12=(4﹣x)2+（1﹣0）2，由此可以看成平面直角坐标系中点(4,1)与点______的距离；
②代数式x2+32可以看成平面直角坐标系中点(x，0)与点______的距离。(只填写符合题意的一个点的坐标即可)
【应用模型】(4) 代数式x2+32+(4﹣x)2+12，当x取何值时有最小值，最小值是多少？
【回顾反思】(5) 回顾上述解决问题的过程，你积累了哪些解题经验呢？(不超过 50 字)
26.(本小题满分 12 分)如图 1，将含有 45° 角的三角板的直角顶点C放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形。这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用。
设直线y=kx+4(k≠0)与x轴、y轴分别交于A、B两点。
(1) 如图 2，若k=−2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限。
①直接填写：OA= ，OB= ；
②求点E的坐标。
(2)如图 3，若k>0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN=AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由。
(3) 如图 4，若k=−2，将直线y=kx+4(k≠0)向下平移 6 个单位。点P是平移后直线上的动点，点M在x轴负半轴上，OM=4，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形。请直接写出所有符合条件的点Q的坐标。
答案
一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词 “面”。在下列实数中，属于 “面” 的是（ C ）
A. 13 B. 0.3 C. 2 D. 0
2.下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ D ）
3.如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ A ）
A. (−2,4) B. (1,2) C. (−2,−3) D. (2,−3)
4.△ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ B ）
A. ∠A=∠B+∠C B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. a2=(b+c)(b−c) D. a=5，b=4，c=41
5.下列说法正确的是（ C ）
A. 9 的平方根是 3 B. 负数没有立方根 C.16的算术平方根是 2 D. （﹣3）2的结果是−3
6.对于一次函数y=−2x+5，下列结论正确的是（ C ）
A. 函数的自变量每增加 1，函数值增加 2
B. 函数的图象与x轴交于点(5,0)
C. 函数的图象向下平移 5 个单位长度得到y=−2x的图象
D. 若点A(−2,y1)、点B(3,y2)在此函数图象上，则y10；③函数y=ax+d的图象不经过第一象限；④3(a−c)=d−b；⑤x的值每增加 1，y2−y1的值增加d−b。其中正确的是（ A ）
A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③⑤
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题 (本大题共 6 个小题。每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。)
11.−8的立方根是____﹣2____。
12.点A(m+3,2m+4)在y轴上，则点A的坐标为____（0，﹣2）____。
13.某校选拔 14 名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示：
则这组数据的下四分位数为___68_____。
14.如图，一次函数y=kx+b与y=−x+4的图象相交于点P(m,1)，则关于x、y的二元一次方程组x+y=4−kx+y=b
的解是____x=3y=1____。
15.若直角三角形的两边长为a、b，且满足(a−3)2+∣b−4∣= x−2025+2025−x，则该直角三角形的第三边长为____5或7____。
16.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=4，AC=6，点E、点F分别在BC、AC边上，且AF=CE，则AE+BF的最小值为____213____。
三、解答题 (本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分 6 分)计算：12÷3−(5)2+32×12。
=2﹣5+4
=1
18.(本小题满分 6 分)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在 “勾股” 章节中记载了一道 “折竹抵地” 的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？” 译文为：一根竹子，原高一丈 (1 丈 = 10 尺)，竹子折断后，竹梢触地点离竹根 3 尺 (BC=3尺)。问折断处离地面多高？
解：设 AC 长 x 尺，则 AB 长（10一 x ）尺
在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°,
∴AC2+BC2=AB2
x2+32=(10- x )2
x2+32=100-20x+x2,
20x=91
解得x =4.55
答：折断处离地面4.55尺。
19.(本小题满分 6 分)如图，在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中 (小正方形顶点称为格点)，△ABC的三个顶点均在格点上。
(1) 请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使△ABC顶点A的坐标为（﹣2，4）；
(2) 在 (1) 的平面直角坐标系中，直接写出△ABC其他两个顶点的坐标；
(3) 在 (1) 的平面直角坐标系中，画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1。
解：(1）如图所示，平面直角坐标系即为所求：
(2)B (-4,2), C (-3,0);
(3）如图所示，△ AIB1CI 即为所求。
20.(本小题满分 8 分)如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）。
(1) 求直线l的函数表达式；
(2) 求△AOB的面积。
解：(1）设直线l的函数表达式为 y =kx + b
把点 A (1,6）和点 B (-3,-2）代入，
得k + b =6﹣3k+b=﹣2
解得：k=2b=4
∴直线l的函数表达式为 y =2x+4
(2）设直线l与 x 轴交于点 P
即当 y =0时，x =-2
点 P的坐标为（﹣2,0）,
则△AOB 的面积＝12x2x6+12x2x2=8
21.(本小题满分 8 分)如图，OA=OB。
(1) 点A表示的数是______，点A表示的数______−2.5(填 “>”、“”“=” 或 “a)，完成勾股定理的推导过程 (用图 1 中的字母表示)；
证明：∵大正方形的面积有两种求法：一种是大正方形面积为c2，另一种是 4 个直角三角形和中间小正方形的面积和为__________
∴根据面积相等得__________，整理得：a2+b2=c2。
(2) 如图 2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3) 如图 3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长度。
（1）（b﹣a）2+4×12ab c2=（b﹣a）2+4×12ab
（2）125
（3）设 BD = x
在 Rt△ABD 中,根据勾股定理得, AD =4﹣x2=16-x2
在 Rt△ADC 中,根据勾股定理得, AD =52-（6﹣x）2=﹣11+12x﹣x2
∴16-x2=-11+12-x2
解得=94
∴BD 的长为94
24.(本小题满分 10 分)函数在生活中无处不在。图 1 展示了两种水杯的外形，1 号水杯为厚底圆柱形，2 号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图 2 描述的是 1 号水杯中水的体积V1（ml）与水面到水平桌面的距离h（cm）的函数图象；
(1) 求V1与h之间的函数表达式；(不需要写出自变量的取值范围)
(2) 2 号水杯中水的体积V2（ml）与水面到水平桌面的距离h（cm）之间的关系如下表所示。在图 2 中，画出V2与h之间的函数图象，并直接写出函数表达式；(不需要写出自变量的取值范围)
(3)求出当h（cm）为多少时，1 号杯和 2 号杯中水的体积相差 10ml？
(1)设V1与 h 之间的函数表达式为V1= kh十b ( k、b为常数,且k≠0)
将（1，0）和(11,300)分别代入V1= kh + b ,
得k+b=011k+b=300
解得:k=30b=﹣30
∴V1与 h 之间的函数表达式为V1=30h-30
(2)V2与 h 之间的函数表达式为 V2=25h
(3)根据题意:V1﹣V2=10,
①当V1﹣V2=10时
30h一30一25h=10
解得h =8
②当V2﹣V1=10时,
25h一(30h一30)=10,
解得h=4
答：当 h 为8cm或4cm时，1号杯和2号杯中水的体积相差10ml。
25.(本小题满分 12 分)【先导问题】(1) 如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)、点B(1,3)，则AB的长度为____。
【提炼模型】(2) 某数学兴趣小组根据先导问题思考：已知平面直角坐标系中任意两点的坐标M(x1,y1)、
N(x2,y2)，是否可以用相同的方法求出MN的长度？
解：如图 2，过点N、M分别作平行于x轴、y轴的直线交于点C，则点C的坐标为(x1,y2)，那么MC=y1﹣y2，
NC=x1﹣x2.
在Rt△MCN中，根据勾股定理得：MN=NC2+MC2=(x1﹣x2)2+（y1﹣y2）2
在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式。若点A(a,1)、点B（3，2），则AB=______(用含a的代数式表示)。
反之，若MN=(x1﹣x2)2+（y1﹣y2）2，则点M、N的坐标可以是(x1,y1)、(x2,y2)。
【识别模型】(3) 根据你对两点间距离公式的理解，完成下列问题：
①代数式(4﹣x)2+12=(4﹣x)2+（1﹣0）2，由此可以看成平面直角坐标系中点(4,1)与点______的距离；
②代数式x2+32可以看成平面直角坐标系中点(x，0)与点______的距离。(只填写符合题意的一个点的坐标即可)
【应用模型】(4) 代数式x2+32+(4﹣x)2+12，当x取何值时有最小值，最小值是多少？
【回顾反思】(5) 回顾上述解决问题的过程，你积累了哪些解题经验呢？(不超过 50 字)
（1）13
（2）a2﹣6a+10
（3）①（x，0）
②（0，3）或（0，﹣3）
（4）当x=3时，x2+32+(4﹣x)2+12有最小值，最小值为42.
（5）体现数形结合思想，建模思想
26.(本小题满分 12 分)如图 1，将含有 45° 角的三角板的直角顶点C放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形。这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用。
设直线y=kx+4(k≠0)与x轴、y轴分别交于A、B两点。
(1) 如图 2，若k=−2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限。
①直接填写：OA= ，OB= ；
②求点E的坐标。
(2)如图 3，若k>0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN=AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由。
(3) 如图 4，若k=−2，将直线y=kx+4(k≠0)向下平移 6 个单位。点P是平移后直线上的动点，点M在x轴负半轴上，OM=4，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形。请直接写出所有符合条件的点Q的坐标。
（1）①2 4
②过点 E 作 ED⊥OB 于点 D
∴∠BDE =∠AOB =90°
∵△ABE 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形
∴∠ABE =90°
∵∠ABO +∠EBD +∠ABE =180°
∴∠ABO +∠EBD =90°
又：∠ABO +∠BAO =90°
∴∠BAO =∠EBD
在△BED 和△ABO 中，
∠EBD =∠BAO∠BDE =∠AOBBE = AB
∴△BED≌△ABO ( AAS )
∴DE = OB =4, BD = OA =2
∴OD = OB + BD =6,
∴点 E 的坐标为（4,6):·
当k 变化时，△OBN 的面积是定值
理由如下：过点 N 作 NM⊥y 轴于点M
同理：△BMN≌△AOB ( AAS )
MN =OB =4
∴S△NOB=12OB·MN =12x4x4=8
∴k 变化时，△OBN 的面积是定值，且定值为8;
（3）Q（0，23）或（0，6）