黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.
已知两个向量，且 ，则 （）
B.
C. D.
以 为顶点的四边形是（）
平行四边形，但不是矩形B. 矩形C. 梯形，但不是直角梯形
D. 直角梯形
过点， 的直线方程是（）
A.B.
C.D.
点 到直线 的距离（）
B. C. D. 2
已知点 ， ，则以线段 为直径的圆的方程为（）
A
B.
C. D.
已知 是椭圆的左、右焦点，过 的直线交 于 两点，若 ，则
（）
B. 3C. D. 2
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（）
A. 3B.C.D.
若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为 60°，则该双曲线的离心率 e 为（ ）
B. 2C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对按比例得分，错选不得分.
关于直线，则下列结论正确的是（）
倾斜角为B. 斜率为
C. 在 y 轴上的截距为D. 与直线垂直
若过点 可以作出圆两条切线，则实数可能的值为（）
B. C. D.
对抛物线，下列描述正确是（）
开口向下，准线方程为
开口向下，焦点为
开口向左，焦点为
开口向左，准线方程为
三、填空题：本题 3 个小题，每题 5 分，共 15 分.
直线 与圆相交所得弦长为.
已知抛物线上一点的横坐标为 3，则点到抛物线焦点的距离是.
我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
，则 的虚轴长为．
四、解答题：本题共四个小题，共 47 分
若直线经过直线 与 的交点，且与直线 平行.
求直线的方程；
求直线与的距离.
如图，在四棱锥 中， 平面，底面为正方形．
（1）证明： ；
.圆为
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
已知 的顶点坐标分别为
求圆的方程；
的外接圆.
若直线 ，求证：不论何值，直线与圆相交.
椭圆 C 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆 C 经过点且长轴长为．
求椭圆 C 的标准方程；
过点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|．
哈三十二中 2025～2026 学年度高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题:本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.
已知两个向量，且 ，则 （）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线定理，可得的值，即可得到结果.
【详解】向量，且 ，则存在实数 ，使得 ，
即，所以,解得,
故 ，
故选：B
以 为顶点的四边形是（）
平行四边形，但不是矩形B. 矩形C. 梯形，但不是直角梯形
D. 直角梯形
【答案】D
【解析】
【分析】先在坐标系内画出 ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形 ABCD 的形状.
【详解】
在坐标系中画出 ABCD 点，大致如上图，其中
，
，
，
所以四边形 ABCD 是直角梯形；故选：D.
过点，直线方程是（）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.
【详解】因为直线过点， ，所以直线方程为，故选：B.
点 到直线 的距离（）
B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点 到直线 的距离故选：A
已知点 ， ，则以线段 为直径的圆的方程为（）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解.
【详解】因为 为直径，所以圆心为，半径，
所以圆的方程为 .
故选：C.
已知 是椭圆的左、右焦点，过 的直线交 于 两点，若 ，则
（）
B. 3C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的定义可得 ，结合已知即可得答案.
【详解】由椭圆的定义，知，
所以，即 ，
又 ，所以．故选：B
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线性质得出焦点，再根据坐标求两点之间距离即可.
【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点 到坐标原点 的距离为.
故选：B.
若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为 60°，则该双曲线的离心率 e 为（ ）
B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用 间的关系转化为 间关系得解.
【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为 ，因为双曲线两条渐近线的夹角为 60°， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即，即 ，
所以 ，则.
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对按比例得分，错选不得分.
关于直线，则下列结论正确的是（）
倾斜角为B. 斜率为
C. 在 y 轴上的截距为D. 与直线垂直
【答案】BC
【解析】
分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断.
【详解】直线变形得，
直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为 ，A 错误，B 正确；
，
令
，即直线在 y 轴上的截距为，C 正确
又直线的斜率为，与直线不垂直，D 错误故选：BC.
若过点 可以作出圆的两条切线，则实数可能的值为（）
B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】首先分析出点在圆外，则代入得到不等式，解出即可.
【详解】过可作圆的两条切线，说明点在圆的外部，
所以 ，解得或，故选：AD.
对抛物线，下列描述正确的是（）
开口向下，准线方程为
开口向下，焦点为
D. 开口向左，准线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.
【详解】由题设，抛物线可化为，
开口向下，焦点为，准线方程为.所以 AB 正确，CD 错误.故选：AB.
三、填空题：本题 3 个小题，每题 5 分，共 15 分.
直线 与圆相交所得的弦长为.
【答案】
【解析】
【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可.
【详解】由 ，可知圆心为 ，半径为，所以 到 的距离，
则直线与圆相交所得的弦长为.
故答案为：.
已知抛物线上一点的横坐标为 3，则点到抛物线焦点的距离是.
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求得答案.
【详解】抛物线的准线为 ，
所以该抛物线上点到其焦点的距离为 .
我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
，则 的虚轴长为．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解.
【详解】因为，即 ，解得 ，所以的虚轴长为 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共四个小题，共 47 分
若直线经过直线 与 的交点，且与直线 平行.
求直线的方程；
求直线与的距离.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求得两直线的交点，再由直线与直线 平行求解；
（2）利用两直线间的距离公式求解.
【小问 1 详解】
因为直线过直线 和 的交点，由，解得，即点 ，
因为直线 的斜率为 2，且直线 与直线平行，
所以直线的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
直线 与直线的距离为.
如图，在四棱锥 中， 平面，底面为正方形．
（1）证明： ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需证明 平面 ，再结合线面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面 、平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式、平方关系即可求解.
【小问 1 详解】
因为底面为正方形，所以 ，
，
，
又因为 平面， 平面，所以 ，
又因为
平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
由题意以 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以，
所以 ，
则
，
设平面 、平面的法向量分别为 ，
，
令 ，解得，
故可取 ，
所以，
.圆为
所以二面角 的正弦值为.
已知 的顶点坐标分别为
求圆 方程；
的外接圆.
若直线 ，求证：不论 为何值，直线与圆相交.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案；
（2）判断出直线 过定点，且定点在圆内可得答案.
设圆的方程为 ，
因为 在圆上，
所以，解得，满足 ，
所以圆的方程为；
【小问 2 详解】
直线 ，对于 ，
可得，解得 ，所以直线过定点 ，
因为 ，所以点 在圆内，所以不论 为何值，直线与圆总相交.
椭圆 C 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆 C 经过点且长轴长为．
求椭圆 C 的标准方程；
过点 且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出 ，得出椭圆 C 的标准方程.
（2）直线 l 与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
【小问 1 详解】
由题意设椭圆 C 的方程为 ，因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆 C 的标准方程为.
【小问 2 详解】
由已知设直线 l 的方程为 ，设， .
代入
，
将直线
得
，
，
，
所以
.