安徽省芜湖市2024-2025学年高一上学期期中普通高中联考数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省芜湖市2024-2025学年高一上学期期中普通高中联考数学试卷（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，时间120分钟）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2. 已知集合，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解.
【详解】集合，由，
得，解得，此时集合中与矛盾；
或，解得，此时，符合题意，
所以.
故选：D
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论.
【详解】由，解得，
由，解得或，
“”成立，则“或”成立，
而“或”成立，“不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.
4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可．
【详解】由题：的定义域为，即，
所以的定义域为，
又中，
综上：的定义域为，
故选：D．
5. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分段函数在各自段上单调递减，再结合一次函数的性质直接求解即可.
【详解】要使在上是减函数，需满足：，
解得，则的取值范围为.
故选：A.
6. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数解析式并确定单调性，进而求出不等式的解集.
【详解】设幂函数，由，得，解得，，
函数在定义域上单调递增，
不等式，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：D
7. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围.
【详解】设
，
则，
所以，
又，，
则，
所以，
故选：
8. 已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.
【详解】由题知，
因为a，b为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以，即，
所以，整理得，则，
结合x为正数，得，所以正数x的最大值为2．
故选：D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分.
9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A. 定义域为B. 值域为
C. 在上单调递减D. 图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数有意义，则满足，
所以函数定义域为，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以；
当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，所以B正确；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确；
对于D中，函数定义域，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，所以D正确.
故选：ABD.
10. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为2
D. 若，且，那么最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A利用二次函数性质判断；对于B、C应用基本不等式判断即可；对于D应用基本不等式“1”的代换判断.
【详解】对于A：，显然时取到最大值，故A正确；
对于B：由，则，
则
，
当且仅当，即时等号成立，故B错误；
对于C：，
当且仅当时等号成立，而，取不到最小值2，故C错误；
对于D：因为，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：BC.
11. 著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（ ）
A.
B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于轴对称
D. 存在一个正三角形，其顶点均在的图象上
【答案】BCD
【解析】
【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C.
【详解】对于A，当，时，，，，故A错误；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
若是无理数，则是无理数，所以，；
若是有理数，则是有理数，所以，；
所以，故是偶函数，图象关于轴对称，故B正确；
对于C，由B可知，，所以，
故是偶函数，图象关于轴对称，故C正确；
对于D，设， ，C0,1，
则，所以是等边三角形，
又因为，，，所以的顶点均在的图象上，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．
【答案】f（x）＝x2+2x
【解析】
【分析】
根据偶函数的性质f（x）＝f（﹣x）即可得出答案．
【详解】当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝x2+2x，
又f（x）是偶函数，
∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x．
故答案为：f（x）＝x2+2x．
【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质的应用，属于基础题．
13. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知得，又，则将所求分组为，即可求解.
【详解】因为，
所以，又，
所以
.
故答案为：.
14. 设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________．
【答案】39
【解析】
【详解】由，知．
若，则，矛盾．
因此，．
则，，，．
又，故，，，．
因为，，所以，，．
因此，．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15. 设集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解.
（2）由给定条件，可得，再利用集合包含关系讨论求解即得.
【小问1详解】
依题意，，
由，得，则，解得或，
当时，则，满足；
当时，则，满足，
所以或.
【小问2详解】
由（1）可知，，，
若，则，解得；
若，则，无解；
若，由（1）知；
若，则，无解，
所以实数的取值范围是.
16. 根据下列条件，求的解析式.
（1）是一次函数，且满足；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）将原式中x与互换，建立方程组，求解即可.
【小问1详解】
由题意，设
因为，
所以，
即，
由恒等式性质，得，
解得，
则所求函数解析式为.
【小问2详解】
因为，将原式中的x与互换，得，
于是得关于方程组：，
解得.
17. 解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】当时，不等式化为；当时，可化为
，后讨论与4的大小可得答案.
【详解】当时，不等式化为；
当时，.
当时，若，不等式解为或；
若，不等式解为；
若，不等式解为或；
当时，此时，，
不等式解为.
综上，时，不等式解为；时，不等式解为或；
时，不等式解为；时，不等式解为或；
时，不等式解为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）求函数在上的值域；
（3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数即可；
（2）由（1）得，再判断单调性，然后求解即可；
（3）现将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可.
【小问1详解】
由题意，得到，
所以，整理得到，所以，
又，得到，解得.
所以，.
【小问2详解】
由（1）可知.
设，
则，
因为，所以，则，，，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
又，，所以函数在上的值域为.
【小问3详解】
由（2）知，可将问题转化为，当时，恒成立.
若，则在区间上为增函数，由，得到，
若，则，此时在上恒成立，
若，则在上为减函数，由，得到.
综上可知：，即实数的取值范围为.
19. 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集.
（1）分别判断集合是不是理想数集；
（2）任取一个元理想数集，求证：；
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
【答案】（1）集合是理想数集，集合不是理想数集
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由理想数集的定义即可判断；
（2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，，讨论即可得证.
【小问1详解】
设的随影数集分别为，
则，
所以集合是理想数集，集合不是理想数集.
【小问2详解】
不妨设集合且，即.
为理想数集，，则，且，使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.